In de goede oude tijd, toen mijn kinderen nog thuis woonden, stond iedere week het onvolprezen programma “Eén tegen 100” aan. Vol vuur riep ik de, volgens mij, goede antwoorden. Een van mijn dochters zei me wel eens dat ik mij aan moest melden voor een uitzending, maar zo fanatiek was ik nou ook weer niet. Vanaf 2000 werd het spel uitgezonden door de publieke omroep, om in 2007 door RTL te worden overgenomen. Daarna kwam het terug bij de publiek omroep en zojuist lees ik dat het binnenkort weer naar RTL 4 verkast. Gelukkig verhuist Caroline Tensen mee.

De afgelopen jaren ontstond een discussie of het programma wel voldoende past bij de publieke omroep. Het programma zou “alleen maar” amusement zijn. Gek eigenlijk. Als een kennistoets vrolijk en spannend is, wordt het als “alleen maar” amusement gezien. Wetenschap mag niet leuk zijn of zo. Nou ja, zeg. In ieder geval is de quiz een serieuze inspiratiebron geweest voor een Wiskunde-A-dag op het VWO en voor een stevige kansrekeningopgave bij het HAVO examen wiskunde B1 (2008 tweede tijdvak). In deze opgave wordt gewerkt met een vereenvoudigde versie van het spel die ik hieronder zal bespreken.

Bij “Eén tegen 100” worden vragen gesteld, voorzien van steeds drie mogelijke antwoorden. Eén daarvan is het goede antwoord. Als de kandidaat dit goede antwoord kiest, gaat hij door naar de volgende vraag. In de zaal zitten 100 tegenspelers die de vragen ook beantwoorden. De tegenspelers die het goede antwoord hebben gegeven, gaan ook door naar de volgende vraag. De rest valt af.

Als de kandidaat een fout antwoord geeft, is het spel afgelopen.

Stel dat de eerste vraag voor de kandidaat geen probleem is. Wat is de kans dat het spel meteen uit is?

Dat betekent dat van de 100 tegenspelers niemand het goede antwoord weet, waardoor iedereen moet gokken en iedereen dan ook nog het foute antwoord geeft. De kans dat een tegenspeler het antwoord goed gokt is natuurlijk 1/3 en de kans dat een tegenspeler het antwoord fout gokt is 2/3. De kans dat alle 100 gokkende tegenspelers het antwoord fout gokken is (2/3)^100. De uitkomst daarvan is slechts 0,00000000000000000246.

Hoe groot is de kans dat één tegenspeler goed gokt en de andere tegenspelers het foute antwoord kiezen? De kans dat één van de 100 tegenspelers goed gokt en de andere 99 fout is 100*(1/3)*(2/3)^99. (1/3) is de kans die hoort bij die ene, het goede antwoord gokkende, tegenspeler en (2/3)^99 is de kans die hoort bij die 99 fout gokkende tegenspelers. Het getal 100 moet er ook bij, want de uitkomst (1/3)*(2/3)^99 kan 100 keer voorkomen. Immers iedere tegenspeler kan góed-gokken. De uitkomst van deze mogelijkheid is 0,000000000000000123 en dat is meteen de kans dat het spel bij vraag 2 verder gaat met 1 tegenspeler.

Nu beginnen we echt. We gaan weer terug naar de situatie dat niet één tegenspeler het antwoord op vraag 1 zeker weet. De kans dat twee van die 100 (mevrouw Jansen en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 98 fout gokken is (1/3)^2*(2/3)^98. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 100*99 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-Kok is dezelfde als Kok-Jansen dus er zijn 100*99/2 combinaties van duo’s goed-gokkers. De kans dat precies twee van de 52 tegenspelers goed gokken is dus
(100*99/2)*(1/3)^2*(2/3)^98 en dat is 0,00000000000000304.

Opnieuw terug naar de situatie waarin alle tegenspelers het antwoord op vraag 1 gokken. De kans dat drie van die 100 (mevrouw Jansen, meneer de Vries en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 97 fout gokken is (1/3)^3*(2/3)^97. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 100*99*98 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-deVries-Kok komt op 6 ( = 3*2*1) manieren voor. Dus er zijn (100*99*98)/(3*2*1) combinaties van tripels goed-gokkers. De kans dat precies drie van de 100 tegenspelers goed gokken is dus (100*99*98)/(3*2*1)*(1/3)^3*(2/3)^97. Met de rekenmachine kunnen we uitrekenen dat daar 0,0000000000000497 uitkomt.

Er komen steeds erg kleine getallen uit, en pas bij aantal goed-gokkers = 17 is het aantal nullen naar vier geslonken. De volgende tabel ontstaat:

In de tabel kun je zien dat de kans dat 40 tegenspelers verder mogen met vraag 2 0,03075091 is, ervan uitgaande dat alle tegenspelers gokken. Die veronderstelling is wat verre gaande en daarom zal ik mijn volgende post beschrijven wat verandert als er vanuit wordt gegaan dat ook een aantal tegenspelers het goed antwoord wéét. En daarmee zijn we dan eigenlijk pas echt bij de examenvraag aangeland.

Hieronder de grafiek die bij de tabel hoort. De verdeling is redelijk symmetrisch en lijkend op de normale verdeling. Het midden ligt bij 33 en dat is gelijk aan (1/3)*100, zoals het ook hoort te zijn.

Zo serieus kun je amusement nemen!