Eén tegen 100 (2)

Bramen zijn heerlijke vruchten, maar bij het plukken moet je erg oppassen dat je handen of je kleren niet aan de doornen beschadigen. Zo ongeveer is het ook met kansrekening. Het is een prachtig vak vol uitdagende puzzels, maar in menig kansrekeningprobleem zit een intellectuele boobytrap verborgen. Ik weet niet of het daardoor komt, maar feit is dat in de huidige eindexamenprogramma’s van HAVO en VWO de rol van Kansrekening sterk is terug gedrongen.

De afgelopen vijfentwintig jaar ben ik, onder andere in de eindexamens, vele juweeltjes van kansrekeningopdrachten tegengekomen. Het zou zonde zijn als daar niet al te veel meer mee gedaan werd en daarom bespreek ik dan maar een aantal ervan in aangepaste vorm in mijn blog. Mijn voorkeur gaat uit naar kansrekening toegepast op spel.

In een post op 4 januari ben ik begonnen met het bespreken van de kansrekening van de onvolprezen quiz Eén tegen 100. Hierin heb ik de berekeningsmethode geïntroduceerd, die ik nu verder zou willen uitwerken.

Stel dat de eerste vraag voor de kandidaat geen probleem is. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurigéén van de drie mogelijke antwoorden.

Die overige 52 tegenspelers gokken dus en daar komt de kansrekening om de hoek kijken. De kans dat een tegenspeler het antwoord goed gokt is natuurlijk 1/3 en de kans dat een tegenspeler het antwoord fout gokt is 2/3. De kans dat alle 52 gokkende tegenspelers het antwoord fout gokken is (2/3)^52. De uitkomst daarvan is slechts 0,000000000697 en dat is meteen de kans dat bij vraag 2 gestart wordt met 48 tegenspelers.

De kans dat één van de 52 tegenspelers goed gokt en de andere 51 fout is 52*(1/3)*(2/3)^51. (1/3) is de kans die hoort bij die ene goed gokkende tegenspeler en (2/3)^51 is de kans die hoort bij die 51 fout gokkende tegenspelers. Het getal 52 staat er ook bij, want de uitkomst (1/3)*(2/3)^51 kan 52 keer voorkomen. De uitkomst van deze mogelijkheid is 0,0000000181 en dat is meteen de kans dat het spel bij vraag 2 start met 49 tegenspelers. Dat is maar liefst een factor 26 meer!!!

Nu beginnen we echt. We gaan weer terug naar de situatie dat 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat twee van die 52 (mevrouw Jansen en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 50 fout gokken is (1/3)^2*(2/3)^50. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-Kok is dezelfde als Kok-Jansen dus er zijn 52*51/2 combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies twee van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51/2)*(1/3)^2*(2/3)^50

De leerlingen die het eindexamen maken, kunnen het antwoord (0,000000231) uitrekenen met een formule op de rekenmachine.

Opnieuw terug naar de situatie waarin 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat drie van die 52 (mevrouw Jansen, meneer de Vries en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 49 fout gokken is (1/3)^3*(2/3)^49. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51*50 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-deVries-Kok is op 6 ( = 3*2*1) manieren te maken. Dus er zijn (52*51*50)/(3*2*1) combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies drie van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51*50)/(3*2*1)*(1/3)^3*(2/3)^49. Met de rekenmachine kunnen we uitrekenen dat daar 0,00000193 uitkomt.

Gelukkig zit er op de Grafische Rekenmachine een optie om dit snel uit te rekenen. Ook met Excel kan het, met gebruikmaking van de optie binom.verd

Op het eindexamen wiskunde b1 (2008 II) wordt begonnen met de vraag:

De eerste vraag is voor de kandidaat geen probleem. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurig één van de drie mogelijkheden. Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.

Meer dan 65 betekent 66 of 67 of 68 of 69 of …… of 100. Steeds zijn er 48 zeker-weters. De vraag moet omgezet worden naar: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 17 goed-gokkers over zijn, immers 65 – 48 = 17.

Meer dan 17 betekent 18 of 19 of 20 of 21 of ….. of 52 goed-gokkers.

Ik heb dit voor u uitgerekend via Excel met de optie binom.verd.

Dit geeft in het hokjesscherm:

Op regel 36 staat de som van al deze uitkomsten en dat is meteen ook het antwoord op de eerste examenvraag: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.
Nogmaals: Eén tegen 100 is serieus amusement!!