In zevenen
Wilt U een mooie ronde taart met een zekere wiskundige precisie verdelen over 7 personen dan staan U verschillende technieken ter beschikking. In het midden een stip zetten en met een gradenboog 7 hoeken van 51 graden afpassen is praktisch het beste, denk ik. Nou ja, voor de wiskundige fijnproevers eigenlijk 3 x 52 + 4 x 51 graden, maar dat verschil merken de gasten in de praktijk toch niet.

Praktisch gezien amper uitvoerbaar, maar wiskundig veel interessanter is de volgende methode. Snij de taart eerst in 2 helften en snij die helften weer in 2 helften, zodat er 4 even grote taartpunten zijn. Halveer vervolgens weer die 4 stukken. De situatie is nu de volgende:


Zeven personen kunt U nu een 1/8 taartstuk geven en dan is er nog een stuk over. Dat stuk kunt U ook weer in 8 taartpunten verdelen en dan kunt U alle 7 personen een punt ter grootte van 1/64 taart toeschuiven. Dit proces kunt U niet tot in het oneindige herhalen, maar stel dat U dat zou kunnen, dan werden alle 7 personen voorzien van stukken taart die optellen tot de volgende reeks:

(1/8) + (1/8)^2 + (1/8)^3 + (1/8)^4 + (1/8)^5 + …

U ziet dat ik “tot de derde macht” schrijf als ^3, omdat dit tekstverwerkertje een hoge 3 niet aankan.

Omdat iedereen evenveel krijgt komt daar 1/7 uit, dus

1/7 = (1/8) + (1/8)^2 + (1/8)^3 + (1/8)^4 + (1/8)^5 + …

Dat je een breuk kunt schrijven als de oneindige som van een serie andere breuken, maakt mij op zich al enthousiast, maar er is meer.

Naar de binaire getallen is het namelijk nu nog maar een kleine stap.

Omdat (1/8) = (1/2)^3, geldt:

1/7 = (1/2)^3 + (1/2)^6 + (1/2)^9 + (1/2)^12 + (1/2)^15 + …

Omdat 1/2 = 0,1 (binair) is (1/2)^3 = 0,001 (binair); (1/2)^6 = 0,00001 (binair) enzovoorts, kunnen we de volgens reeks ontwikkelen:

1/7 = 0,001 + 0,000001 + 0,000000001 + 0,000000000001 + … (binair)

Dus:

1/7 = 0,001001001001001001 … (binair)

Lukt dit ook met 9 personen?
De taart zal eerst verdeeld moeten worden in 16 stukken. Alle negen krijgen een punt van (1/16) taart. Dan hebt U nog maar liefst 7 stukken over. Die snijdt U allemaal door de helft en van de 14 taartstukken die ontstaan rommelt U voor ieder van de 9 een taartpunt ter grootte van (1/32) taart op het bordje. Dan hebt U nog 5 stukken over. Die snijdt U allemaal door de helft en van de 10 taartpuntjes die ontstaan kunt U er 9 verdelen. Maar dan hebt U nog slechts (1/64) taart over.

“Eet die zelf maar op,” zullen Uw 9 vrienden zeggen, gul als ze zijn. “Voor de moeite.”

U z ult om de eerlijkheid dit 1/64-ste deel in 16 stukken moeten verdelen, waarna bovenstaande procedure weer kan worden gestart. Terwijl U ploetert wordt U verbijsterd gadegeslagen door Uw bezoek.

“Waar maakt die zich druk om,” voelt U hen denken.

Maar reeksontwikkeling is zo leuk en interessant. En U, een hogere van geest zijnde, zet door. Wat kan U die taart schelen, die is toch maar slecht voor de kiezen. De volgende reeksontwikkeling is het geestelijk resultaat:

(1/9)= (1/16) + (1/32) + (1/64) + (1/1024) + (1/2048) + (1/4096) + …

(1/9)= (1/2)^4 + (1/2)^5 + (1/2)^6 + (1/2)^10 + (1/2)^11 +

(1/2)^12 + …

= 0,0001 + 0,00001 + 0,000001 + 0,0000000001 + ….

(1/9) = 0,000111000111000111000111 … (binair)

Zo kan, met het taart-verdelen als model, de binaire notatie van een breuk ontwikkeld worden.