Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

Gerard Kuiper (3)

Het firmament Posted on Thu, November 14, 2019 11:03:51

Bron: klik

Een schitterende carrière

Bij de NASA wordt hij nog altijd geëerd als een van de zeer groten die de moderne ruimtevaart mede heeft helpen mogelijk maken: Gerard Kuiper. Hoe ontstonden Zon en planeten in de wolk van gas en stof die zonnenevel wordt genoemd, en wat is het verband tussen deze genese en de vorming van andere zonnestelsels? Wat is de aard van de atmosferen en de oppervlakken van de planeten in het hedendaagse zonnestelsel, en hoe zijn ze ontstaan? Dit waren de drijvende intellectuele vragen die Gerard Kuiper inspireerden in zijn leven van observeren en bestuderen van sterrenstelsels en van ons eigen zonnestelsel. Geboren uit ouders zonder opleiding werkte hij zich op tot één van ’s werelds toonaangevende geleerden. 

In zijn nieuwe positie bij het Yerkes Observatorium onderzocht Kuiper de tweelingster Epsilon Aurigae, samen met de Russische immigrant Struve en de Deen van geboorte Strömgren.

Otto Struve

In een gezamenlijke publicatie veronderstelde hij in 1937 dat het een grote ster was, omringd door een gedeeltelijk transparante gasring die een andere ster afdekte waarvan de ultraviolette straling een deel van de ijle grotere ster heeft geïoniseerd. Dit model gaf aanleiding tot tal van aanvullende observatie- en theoretische studies van het unieke Epsilon Aurigae-systeem.

Om evolutionaire sporen te bepalen in het Hertzsprung-Russell diagram, combineerde Kuiper Strömgren’s theoretische studies met Robert Trumpler’s waarnemingen van clusters. In 1937 publiceerde Kuiper in het Astrophysical Journal een kleur-magnitude diagram voor galactische clusters, waarbij dit soort sporen worden getoond. 

Samen met Struve en andere leden van het Yerkes-personeel bedacht Kuiper de opzet van de 82-inch reflectie telescoop van de Universiteit van Texas, die gezamenlijk door Yerkes en de universiteit wordt beheerd. McDonald Observatory in de buurt van Fort Davis, Texas, werd ingewijd in 1939, en met het nieuwe instrument en zijn hoogwaardige spectrograaf bleef Kuiper zijn zoektocht naar witte dwergen en spectroscopische studies van sterren uitvoeren.  Tijdens de inwijdingsperiode van de 82-inch telescoop vestigde hij zich met zijn gezin op de afgelegen waarnemingsplaats in West-Texas. Hij begon gegevens te verzamelen over sterren die te zwak waren voor de telescopen die hij tot dan toe tot zijn beschikking had. Hoewel het pioniersleven op de afgelegen en slecht ontwikkelde observatieruimte een druk op zijn gezin was, was de McDonald-telescoop destijds de op één na grootste ter wereld en een vitaal hulpmiddel voor het werk dat hij wilde uitvoeren.

McDonald telescoop

Een vroeg doel van Kuipers nieuwe werk was Beta Lyrae. In zijn monumentale publicatie uit 1941 over dit tweelingster systeem introduceerde Kuiper de term “contact tweelingen.” In dit werk herkende hij ook dat materiaal dat door de kleinere ster werd overgenomen een ring daaromheen zou vormen.



Gerard Kuiper (2)

Het firmament Posted on Sat, October 05, 2019 09:28:48

Bron: Klik

Bij de NASA wordt hij nog altijd geëerd als een van de zeer groten die de moderne ruimtevaart mede heeft helpen mogelijk maken: Gerard Kuiper. Hoe ontstonden Zon en planeten in de wolk van gas en stof die zonnenevel wordt genoemd, en wat is het verband tussen deze genese en de vorming van andere zonnestelsels? Wat is de aard van de atmosferen en de oppervlakken van de planeten in het hedendaagse zonnestelsel, en hoe zijn ze ontstaan? Dit waren de drijvende intellectuele vragen die Gerard Kuiper inspireerden in zijn leven van observeren en bestuderen van sterrenstelsels en van ons eigen zonnestelsel. Geboren uit ouders zonder opleiding werkte hij zich op tot één van ’s werelds toonaangevende geleerden. 

Deel 2: Een nieuwe Nederlandse ster aan het Amerikaanse firmament

In 1933 arriveerde Kuiper als jonge, super ambitieuze astronoom bij het Lick Observatorium in de Verenigde Staten. Hier zette hij, onder leiding van Aitken, zijn werk aan tweelingsterren voort. Systematisch onderzocht hij van nabije sterren of ze misschien met zijn tweeën waren. Hij had de publicatie van zijn proefschrift vertraagd totdat hij de observatiedata voor tweelingsterren kon verbeteren. Met het observeren van op het oog dubbele sterren en het maken van kleurindexmetingen ontdekte hij talloze tweelingen en veel witte dwergsterren. Kuiper beschouwde zich altijd als een tweelingsterastronoom, en hij werd sterk beïnvloed door Aitken. 

Met betrekking tot dit werk, herinnerde Kuiper in 1971 dat hij in het begin van zijn carrière werd gevraagd om een boek over de oorsprong van het zonnestelsel te beoordelen.

“Het analytische gedeelte van het boek maakte een diepe indruk op me. Het tweede synthetische deel was compleet teleurstellend. Nadat ik de recensie had geschreven, bleef ik met dit probleem worstelen en ik moest concluderen dat de sterrenkunde er nog geen oplossing voor had. Ik besloot een nauw verwant probleem te vinden, dat met een beperkte inspanning zich waarschijnlijk zou lenen voor een oplossing. . . de oorsprong van dubbele sterren.”

Uiteindelijk kon Kuiper wereldkundig maken dat minstens 50 procent van de dichtstbijzijnde sterren tweelingen of meerling systemen zijn. Hij definieerde scherper het verband tussen massa en lichtkracht van sterren. Hij liet zien dat de witte dwergen grote massa’s zijn die afwijken van de empirische wet. Zijn publicatie in 1938 in het astrofysische tijdschrift over de relatie tussen massa en lichtkracht wordt nog steeds beschouwd als een standaardwerk over dit onderwerp.

Hoewel intellectueel stimulerend en productief, waren de twee jaar bij het Lick Observatorium geen onverdeeld succes. Gevoeligheden waren in de kleine, afgelegen bergtop gemeenschap van sterrenkundigen permanent aanwezig. Kuiper werd door sommigen ervaren als getalenteerd maar ietwat uitgesproken en irritant. Hij zou de erfgenaam van Aitken niet worden en in augustus 1935 ging hij voor een jaar naar het Harvard College Observatorium.

In de tijd dat hij in Cambridge aankwam, vatte Kuiper het plan op om naar Java te gaan, om zijn carrière bij het Bosscha-observatorium voort te zetten. Maar opnieuw waren het de emoties die zijn carrière mede bepaalden. In plaats van zijn Java plan uit te voeren ontmoette hij Sarah Parker Fuller met wie hij op 20 juni 1936 in het huwelijksbootje stapte of wie weet wellicht het huwelijksruimtevaartschip. Sarah’s familie had het land geschonken waarop Harvard’s Oak Ridge Observatory is gebouwd. In dat jaar werd hem een positie aangeboden bij het Yerkes Observatorium van de Universiteit van Chicago door directeur Otto Struve. In november 1935 telegrafeerde Kuiper naar Java dat hij niet langer in een betrekking aldaar geïnteresseerd was. Kuiper voelde dat hij een belangrijke bijdrage kon leveren aan de sterrenkunde door naar Yerkes te verhuizen, maar klaagde in een brief aan W. H. Wright van het Lick Observatorium (30 oktober 1935) dat ”. . . het zal een echt offer betekenen dat ik niet naar het mooie en gelukkige eiland Java moet gaan.” Niemand kon toen weten hoe de Japanners een paar jaar later in de Indische Archipel tekeer zouden gaan. Kuiper zou na de invasie aan een verblijf in de Japanse gevangenenkampen niet hebben kunnen ontsnappen.

Het Bosscha Observatorium

Zelfs voordat Kuiper naar Yerkes verhuisde, vroeg Struve hem om zijn advies over zaken zoals de aanstelling van nieuwe senior-medewerkers bij die instelling. In 1936 werd Kuiper aangesteld als assistent professor aan de Universiteit van Chicago. Hij was universitair hoofddocent van 1937 tot 1943 en werd vervolgens benoemd tot hoogleraar.

Kuiper heeft als nieuwe stafsterker bij Yerkes sterk bijgedragen aan wat William Morgan de renaissance van het Observatorium heeft genoemd. Die wedergeboorte werd gestart door Struve, die, als nieuwe directeur vanaf 1932, Gerard Kuiper, Subramanyan Chandrasekhar en Bengt Strömgren aan het personeel toevoegde. William Morgan was daar een afstudeerstudent en werd in 1932 aangesteld als instructeur. Bok heeft opgemerkt dat Kuipers huwelijk en aanstelling bij Yerkes Observatorium in de jaren 1930 en 1940 sterke positieve stimulansen waren voor zijn wetenschappelijke werkzaamheden.

Het Yerkes Observatorium



Gerard Kuiper (1)

Het firmament Posted on Fri, October 04, 2019 19:33:56

Bron: Klik

Bij de NASA wordt hij nog altijd geëerd als een van de zeer groten die de moderne ruimtevaart hebben helpen mogelijk maken: Gerard Kuiper. Hoe ontstonden Zon en planeten in de wolk van gas en stof die zonnenevel wordt genoemd, en wat is het verband tussen deze genese en de vorming van andere zonnestelsels? Wat is de aard van de atmosferen en de oppervlakken van de planeten in het hedendaagse zonnestelsel, en hoe zijn ze ontstaan? Dit waren de drijvende intellectuele vragen die Gerard Kuiper inspireerden in zijn leven van observeren en bestuderen van sterrenstelsels en van ons eigen zonnestelsel. Geboren uit ouders zonder opleiding werkte hij zich op tot één van ’s werelds toonaangevende geleerden. 

Deel 1: Jonge jaren

Gerard Peter Kuiper (oorspronkelijk Gerrit Pieter Kuiper) werd op 7 december 1905 geboren in het Noord-Hollandse Tuitjenhorn als zoon van Antje de Vries en kleermaker Gerrit Kuiper. Hij stierf op 24 december 1973 in Mexico-City, terwijl hij op reis was met zijn vrouw en zijn levenslange vriend en collega, Fred Whipple. 

Hij was de eerste van vier kinderen. Zijn zus, Augusta, was tot haar trouwen onderwijzeres en zijn broers, Pieter en Nicolaas, werden opgeleid tot ingenieur. Op de basisschool was Gerard een uitstekende leerling. Het was de bedoeling dat hij onderwijzer zou worden en hij moest zijn dorp verlaten om in Haarlem de Kweekschool voor Onderwijzers te kunnen volgen.

Langzamerhand veranderde zijn plan. Kuiper had al vroeg een buitengewone belangstelling voor Astronomie en eigenlijk wilde hij een universitaire studie in Leiden doen. Het pad naar een universitair onderwijs in Nederland liep normaal gesproken via HBS of Gymnasium. Om toch toegelaten te worden moest Kuiper het toentertijd bijzonder zware toelatingsexamen Colloquium Doctum afleggen. 

En passant haalde hij een bevoegdheid om wiskunde te kunnen geven op de middelbare school. Kuipers gedrevenheid, vasthoudendheid en zelfverzekerdheid, die ook in zijn studententijd al goed ontwikkeld waren, deden hem slagen, ondanks een sfeer van discriminatie in Leiden tegen arme studenten en tegen degenen die niet de juiste middelbare scholen achter de rug hadden. 

Op jonge leeftijd werd Kuiper’s interesse in astronomie gestimuleerd door het lezen van Descartes filosofische en kosmologische geschriften. Deze interesse werd aangemoedigd door zijn vader en zijn grootvader, die hem een kleine telescoop gaf. Of hij de kleine telescoop veel gebruikte weet ik niet. Met het blote oog maakte Kuiper gedurende de hele winter schetsen om ook de zwakste leden van de Plejaden die hij kon waarnemen te tekenen. 

Het zevengesternte – Foto: NASA

De Plejaden ofwel het Zevengesternte is een sterrencluster in het sterrenbeeld Stier. Stier is een sterrenbeeld net ten noorden van de hemelequator. De ecliptica loopt door dit sterrenbeeld, dus het maakt deel uit van de dierenriem. De Zon staat in Stier van 14 mei tot 21 juni. 

Op Kuipers kaart vonden de Leidse sterrenkundigen, aan wie hij de resultaten stuurde, sterren met magnitude 7.5, bijna vier keer zwakker dan die welke zichtbaar zijn voor het normale menselijke oog. Zelfs in zijn latere jaren was Kuipers visuele scherpte uitzonderlijk.

Kuiper startte in september 1924 op de universiteit van Leiden. Zijn medestudent en langdurige vriend Bart J. Bok herinnerde zich de dag dat zij elkaar ontmoetten als nieuwe studenten in de bibliotheek van het Instituut voor Theoretische Fysica. 

Kuiper vertelde Bok dat het zijn ambitie was om astronomische problemen van fundamentele aard aan te pakken, met name het drielichamenprobleem en aanverwante vragen over de aard en oorsprong van het zonnestelsel. Hij voltooide zijn kandidaats in Leiden in 1927. 

Antonie Pannekoek

Onder de Leidse professoren van Kuiper waren beroemdheden als Ejnar Hertzsprung, Antonie Pannekoek en de theoretische fysici Paul Ehrenfest, Willem de Sitter, Jan Woltjer en de jonge Jan Oort. Kuiper werd een vriend van de familie Ehrenfest in zijn rol als tutor van de zoon van de fysicus.

Kuiper, Bok en medestudent Piet Oosterhoff studeerden samen  Sterrenkunde. In zijn studententijd mocht Kuiper in 1929 mee met de Nederlandse expeditie naar Sumatra om de zonsverduistering te bestuderen. Hij leerde Maleis, zwierf langs inheemse dorpen, bestudeerde lokale gewoontes en schilderde.

Op de vooravond van de verduistering, ontdekte hij dat een andere astronoom de spectrograafspleet op een van de camera’s onjuist had georiënteerd. De correctie werd net op tijd uitgevoerd om tijdens de verduistering de volgende dag de wetenschappelijke gegevens te kunnen verzamelen.

In 1929 begon Kuiper te corresponderen met de grote dubbelster-astronoom Robert Grant Aitken, die werkte op het Lick Observatorium van de Universiteit van Californië. Hij vroeg hem zijn eerste metingen te bekritiseren. In een van zijn brieven aan Aitken zette hij uiteen aan welke statistische studie hij zich de komende tien jaar wilde gaan wijden. Bij Hertzsprung werkte Kuiper aan zijn proefschrift over tweelingsterren en hij promoveerde in 1933. In datzelfde jaar reisde hij naar de Verenigde Staten om een Kellogg Fellow en later een Morrison Fellow (**) te worden bij Lick Observatory in de buurt van San Jose op Mount Hamilton. Zijn Amerikaanse avontuur was begonnen.

Lick observatorium

(Wordt vervolgd)

(**)

Het Morrison Fellowship is gebaseerd op een legaat uit 1928 van mevrouw Morrison. Het is bedoeld voor de bevordering van onderzoeksactiviteiten aan het Lick Observatorium, Universiteit van California. Het Morrison Fellowship wordt toegekend hetzij aan een astronoom van grote en bewonderenswaardige reputatie op grond van de bijdragen van grote waarde aan de wetenschap van de astronomie, of aan een jongere wetenschapper die onlangs is gepromoveerd en die, naar het oordeel van de Directeur van het Lick Observatorium, van een buitengewone belofte is voor de sterrenkunde.  



Binair taartverdelen

Binair Posted on Thu, March 21, 2019 08:49:44

In zevenen
Wilt U een mooie ronde taart met een zekere wiskundige precisie verdelen over 7 personen dan staan U verschillende technieken ter beschikking. In het midden een stip zetten en met een gradenboog 7 hoeken van 51 graden afpassen is praktisch het beste, denk ik. Nou ja, voor de wiskundige fijnproevers eigenlijk 3 x 52 + 4 x 51 graden, maar dat verschil merken de gasten in de praktijk toch niet.

Praktisch gezien amper uitvoerbaar, maar wiskundig veel interessanter is de volgende methode. Snij de taart eerst in 2 helften en snij die helften weer in 2 helften, zodat er 4 even grote taartpunten zijn. Halveer vervolgens weer die 4 stukken. De situatie is nu de volgende:


Zeven personen kunt U nu een 1/8 taartstuk geven en dan is er nog een stuk over. Dat stuk kunt U ook weer in 8 taartpunten verdelen en dan kunt U alle 7 personen een punt ter grootte van 1/64 taart toeschuiven. Dit proces kunt U niet tot in het oneindige herhalen, maar stel dat U dat zou kunnen, dan werden alle 7 personen voorzien van stukken taart die optellen tot de volgende reeks:

(1/8) + (1/8)^2 + (1/8)^3 + (1/8)^4 + (1/8)^5 + …

U ziet dat ik “tot de derde macht” schrijf als ^3, omdat dit tekstverwerkertje een hoge 3 niet aankan.

Omdat iedereen evenveel krijgt komt daar 1/7 uit, dus

1/7 = (1/8) + (1/8)^2 + (1/8)^3 + (1/8)^4 + (1/8)^5 + …

Dat je een breuk kunt schrijven als de oneindige som van een serie andere breuken, maakt mij op zich al enthousiast, maar er is meer.

Naar de binaire getallen is het namelijk nu nog maar een kleine stap.

Omdat (1/8) = (1/2)^3, geldt:

1/7 = (1/2)^3 + (1/2)^6 + (1/2)^9 + (1/2)^12 + (1/2)^15 + …

Omdat 1/2 = 0,1 (binair) is (1/2)^3 = 0,001 (binair); (1/2)^6 = 0,00001 (binair) enzovoorts, kunnen we de volgens reeks ontwikkelen:

1/7 = 0,001 + 0,000001 + 0,000000001 + 0,000000000001 + … (binair)

Dus:

1/7 = 0,001001001001001001 … (binair)

Lukt dit ook met 9 personen?
De taart zal eerst verdeeld moeten worden in 16 stukken. Alle negen krijgen een punt van (1/16) taart. Dan hebt U nog maar liefst 7 stukken over. Die snijdt U allemaal door de helft en van de 14 taartstukken die ontstaan rommelt U voor ieder van de 9 een taartpunt ter grootte van (1/32) taart op het bordje. Dan hebt U nog 5 stukken over. Die snijdt U allemaal door de helft en van de 10 taartpuntjes die ontstaan kunt U er 9 verdelen. Maar dan hebt U nog slechts (1/64) taart over.

“Eet die zelf maar op,” zullen Uw 9 vrienden zeggen, gul als ze zijn. “Voor de moeite.”

U z ult om de eerlijkheid dit 1/64-ste deel in 16 stukken moeten verdelen, waarna bovenstaande procedure weer kan worden gestart. Terwijl U ploetert wordt U verbijsterd gadegeslagen door Uw bezoek.

“Waar maakt die zich druk om,” voelt U hen denken.

Maar reeksontwikkeling is zo leuk en interessant. En U, een hogere van geest zijnde, zet door. Wat kan U die taart schelen, die is toch maar slecht voor de kiezen. De volgende reeksontwikkeling is het geestelijk resultaat:

(1/9)= (1/16) + (1/32) + (1/64) + (1/1024) + (1/2048) + (1/4096) + …

(1/9)= (1/2)^4 + (1/2)^5 + (1/2)^6 + (1/2)^10 + (1/2)^11 +

(1/2)^12 + …

= 0,0001 + 0,00001 + 0,000001 + 0,0000000001 + ….

(1/9) = 0,000111000111000111000111 … (binair)

Zo kan, met het taart-verdelen als model, de binaire notatie van een breuk ontwikkeld worden.



Eén tegen 100 (2)

Spel en puzzel Posted on Thu, February 28, 2019 10:44:44

Eén tegen 100 (2)

Bramen zijn heerlijke vruchten, maar bij het plukken moet je erg oppassen dat je handen of je kleren niet aan de doornen beschadigen. Zo ongeveer is het ook met kansrekening. Het is een prachtig vak vol uitdagende puzzels, maar in menig kansrekeningprobleem zit een intellectuele boobytrap verborgen. Ik weet niet of het daardoor komt, maar feit is dat in de huidige eindexamenprogramma’s van HAVO en VWO de rol van Kansrekening sterk is terug gedrongen.

De afgelopen vijfentwintig jaar ben ik, onder andere in de eindexamens, vele juweeltjes van kansrekeningopdrachten tegengekomen. Het zou zonde zijn als daar niet al te veel meer mee gedaan werd en daarom bespreek ik dan maar een aantal ervan in aangepaste vorm in mijn blog. Mijn voorkeur gaat uit naar kansrekening toegepast op spel.

In een post op 4 januari ben ik begonnen met het bespreken van de kansrekening van de onvolprezen quiz Eén tegen 100. Hierin heb ik de berekeningsmethode geïntroduceerd, die ik nu verder zou willen uitwerken.

Stel dat de eerste vraag voor de kandidaat geen probleem is. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurigéén van de drie mogelijke antwoorden.

Die overige 52 tegenspelers gokken dus en daar komt de kansrekening om de hoek kijken. De kans dat een tegenspeler het antwoord goed gokt is natuurlijk 1/3 en de kans dat een tegenspeler het antwoord fout gokt is 2/3. De kans dat alle 52 gokkende tegenspelers het antwoord fout gokken is (2/3)^52. De uitkomst daarvan is slechts 0,000000000697 en dat is meteen de kans dat bij vraag 2 gestart wordt met 48 tegenspelers.

De kans dat één van de 52 tegenspelers goed gokt en de andere 51 fout is 52*(1/3)*(2/3)^51. (1/3) is de kans die hoort bij die ene goed gokkende tegenspeler en (2/3)^51 is de kans die hoort bij die 51 fout gokkende tegenspelers. Het getal 52 staat er ook bij, want de uitkomst (1/3)*(2/3)^51 kan 52 keer voorkomen. De uitkomst van deze mogelijkheid is 0,0000000181 en dat is meteen de kans dat het spel bij vraag 2 start met 49 tegenspelers. Dat is maar liefst een factor 26 meer!!!

Nu beginnen we echt. We gaan weer terug naar de situatie dat 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat twee van die 52 (mevrouw Jansen en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 50 fout gokken is (1/3)^2*(2/3)^50. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-Kok is dezelfde als Kok-Jansen dus er zijn 52*51/2 combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies twee van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51/2)*(1/3)^2*(2/3)^50

De leerlingen die het eindexamen maken, kunnen het antwoord (0,000000231) uitrekenen met een formule op de rekenmachine.

Opnieuw terug naar de situatie waarin 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat drie van die 52 (mevrouw Jansen, meneer de Vries en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 49 fout gokken is (1/3)^3*(2/3)^49. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51*50 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-deVries-Kok is op 6 ( = 3*2*1) manieren te maken. Dus er zijn (52*51*50)/(3*2*1) combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies drie van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51*50)/(3*2*1)*(1/3)^3*(2/3)^49. Met de rekenmachine kunnen we uitrekenen dat daar 0,00000193 uitkomt.

Gelukkig zit er op de Grafische Rekenmachine een optie om dit snel uit te rekenen. Ook met Excel kan het, met gebruikmaking van de optie binom.verd

Op het eindexamen wiskunde b1 (2008 II) wordt begonnen met de vraag:

De eerste vraag is voor de kandidaat geen probleem. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurig één van de drie mogelijkheden. Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.

Meer dan 65 betekent 66 of 67 of 68 of 69 of …… of 100. Steeds zijn er 48 zeker-weters. De vraag moet omgezet worden naar: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 17 goed-gokkers over zijn, immers 65 – 48 = 17.

Meer dan 17 betekent 18 of 19 of 20 of 21 of ….. of 52 goed-gokkers.

Ik heb dit voor u uitgerekend via Excel met de optie binom.verd.

Dit geeft in het hokjesscherm:

Op regel 36 staat de som van al deze uitkomsten en dat is meteen ook het antwoord op de eerste examenvraag: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.
Nogmaals: Eén tegen 100 is serieus amusement!!



Geheimschrift (3)

Geheimschrift Posted on Tue, February 26, 2019 12:59:37

Geheimen zijn elementaire ingrediënten voor drama. Romanciers en dramaturgen maken er gretig gebruik van als drijvende motor in het verhaal. In de 19e eeuw is daar het coderen en decoderen bijgekomen, dat als een derde rail fungeert om de motor sneller en verder te doen lopen. Het is een keurige truc. Het geheim van de plot verder verbergen in een cryptografische boodschap, vergroot het dramatische element diepgaand uit.

De eerste die hiervan gebruik maakte is Edgar Allan Poe, met The Murders in the Rue Morgue de grondlegger van de detective. De jaarlijkse prijzen die door Mystery Writers of America worden uitgereikt worden naar hem “Edgars” genoemd. Maar er is nog een andere primeur waarvoor Poe misschien wel onvoldoende krediet krijgt. Hij is de eerste die cryptografie en het breken van codes centraal stelt in de plot, met zijn verhaal The Gold Bug.

In het begin van de jaren 1840 daagt Poe, terwijl hij in Philadelphia voor een weekblad schrijft, zijn lezers uit om hem substitutiecryptogrammen te sturen, waarbij hij opschept dat hij over de nodige vaardigheden beschikt om ze te decoderen. Dat vinden sommige lezers, deels door bijgeloof, best wel eng. Maar velen raken geïntrigeerd en gaan op zijn uitdaging in. Vanuit het hele land ontvangt Poe inzendingen en hij ontcijfert er inderdaad vele. Er ontstaat snel veel enthousiasme. Gecodeerde puzzels raken in. Ze genieten al snel een grote populariteit in tijdschriften en kranten, een affiniteit die tot op de dag van vandaag in de vorm van cryptische kruiswoordraadsels voortduurt.

Als hij de stijgende vraag ziet, speelt Poe in op de trend met zijn in 1843 gepubliceerde korte verhaal, The Gold Bug. Drie mannen vinden een mysterieuze gouden scarabee en een gecodeerde perkamenten brief. Dat leidt uiteindelijk tot de ontdekking van een grote piratenschat, begraven op de moerassige kust bij Charleston, S.C.

Het is leerzaam te onderzoeken hoe geheimschriften worden opgesteld. Aan het eind van de 19e eeuw worden geheimschriften al in gidsen op de markt gebracht. In deze tijd zijn deze handmatig uitgevoerde coderingen een bron voor leuke puzzels en spellen. Je kunt er hele spelletjesmiddagen mee organiseren! Ik vond een Duits lexicon dat voorziet in een uitputtend overzicht. Hieruit bespreek ik regelmatig methodes. Deze methodes zijn niet moeilijk. Ook makkelijke wiskunde kan leuk zijn!

De Chinese methode

Het Chinese schrift mag verticaal geschreven worden. Daarom wordt de hieronder besproken methode ook wel de Chinese methode genoemd … nou ja. De basis is het onderstaande schema.


Het invoegen van de letters in dit schema, net zoals in alle volgende schemata, moet altijd gebeuren in de natuurlijke volgorde van de cijfers (1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, enz.).

Stel de “plaintext” is: zoals afgesproken, bezoek ik jou

Deze tekst wordt als volgt bewerkt:


Horizontaal aflezend wordt de ciphertext: oenpazukbrfoieogakzkeljoess.

Er kan ook een verdere vercijfering plaatsvinden of simpelweg diagonaal worden afgelezen, zodat de ciphertext wordt: zaopfanrgleboesokeksuizekoj.

Variant 1:


Variant 2:


Variant 3:


Variant 4:


Variant 5:


Variatie 6 en 7: Begin respectievelijk rechtsboven en rechtsonder, waarbij de afzonderlijke kolommen in zigzag- of slangenlijnen (d.w.z. in gekoppelde volgorde zoals bij de Varianten 4 en 5) zijn gevuld met de cijfers.

In mijn post “Geheimschrift (2) heb ik het gebruik van nieten behandeld. Zie https://demathemaat.hansschipper.nl/#post46. Ook bij de Chinese methode kunnen die natuurlijk worden gebruikt.

Bron:

Hans Schneickert (1900), Moderne Geheimschriften, Mannheim, Dr. Haas’schen Druckerei



De Beale-code

Geheimschrift Posted on Mon, February 25, 2019 19:38:16

In een vorige post verhaalde ik over het kraken van de Enigma-versleuteling met behulp van een van de eerste computers door Alan Turing en zijn team. Daarmee is niet gezegd dat computers in staat zouden zijn alle oude geheimschriften te breken. Het tegendeel is waar: er bestaan oude, erg knappe, nog steeds niet gebroken cryptografieën. Een voorbeeld van een code die na tweehonderd jaar nog steeds maar gedeeltelijk gebroken is, is de Beale-code. Door het breken van deze code zou het mogelijk zijn de verblijfplaats van een schat ter waarde van 43 miljoen dollar te ontdekken. Jammie dat smaakt naar meer. In zijn mooie boek “De wraak van Archimedes” schat journalist Paul Hoffman dat ten minste tien procent van de beste crypto-analytische geesten in de Verenigde Staten pogen de Beale-code te breken. Dat is geen weg gegooid geld geweest, want door te werken aan de Beale worden vele nieuwe ontdekkingen gedaan die de computerwetenschap enorm vooruitgeholpen hebben.

Rondom de Beale-code bestaat een romantisch verhaal. In januari 1820 komt te paard een lange, duistere, ruige en knappe vreemdeling met koolzwarte ogen en ravenzwart haar aan in het Washington hotel te Lynchburg, Virginia. Hij stelt zich aan hoteleigenaar Robert Morriss voor als Thomas Jefferson Beale. Omdat Beale tevreden is over het hotel, blijft hij de hele winter. Beale blijkt een innemende gast, om zijn mannelijke schoonheid geliefd bij de dames en benijd door de heren. Hij onthaalt de hotelgasten op verhalen over elk denkbaar onderwerp. Hij spreekt echter nooit over zijn familie, afkomst of woonplaats. Eind maart vertrekt hij in alle stilte met onbekende bestemming.


Bijna twee jaar lang verneemt men niets van hem, maar in januari 1822 verschijnt hij plotseling onaangekondigd in het hotel. Hoffman schrijft dat hij net zo briljant is als altijd, maar duisterder en knapper dan ooit. Zijn zongebruinde huid doet vermoeden dat hij echt een avontuur beleefd heeft. Met name de vrouwen zijn blij met zijn terugkeer. Enkele maanden later verdwijnt hij opnieuw. Bij de hoteleigenaar laat hij een gesloten ijzeren kist in bewaring achter. In de zomer ontvangt de hoteleigenaar een brief met beschrijvingen van Wildwest avonturen, die Beale zegt te beleven, alsmede de mededeling dat het nog wel een paar jaar kan duren voordat hij terugkomt.

“Over de kist die ik aan u toevertrouwd heb kan ik kort zijn. Deze bevat papieren die van groot belang zijn voor het fortuin van mij en mijn medewerkers. Het verlies ervan bij mijn dood zou onherstelbaar kunnen zijn. U zult dan ook begrijpen dat deze kist met waakzaamheid en zorg omringd dient te worden, teneinde een grote catastrofe te voorkomen. De kist bevat ook enkele aan u gerichte brieven die nodig zijn om u te informeren over de zaken die ons bezighouden. Mochten ik en mijn medewerkers de kist niet binnen tien jaar na dagtekening van deze brief komen opeisen, dan kunt u haar openbreken.

U zult naast de aan U gerichte brieven ook andere papieren aantreffen, die alleen met behulp van een decoderingssleutel gelezen kunnen worden. Deze sleutel heb ik verzegeld en met uw adres erop aan een vriend toevertrouwd met het opschrift “Niet bezorgen vóór juni 1832”. Door middel van die sleutel zult u volledig begrijpen wat er van u verlangd wordt.”

De hoteleigenaar heeft nooit meer iets van Beale gehoord. Als de zomer van 1832 aanbreekt ontvangt hij de decoderingssleutel niet. Pas in 1845 komt hij eraan toe de kist open te breken. Binnenin vindt hij twee aan hem geadresseerde brieven, een lange informatieve en een korte oninteressante. Verder zijn er oude kwitanties en enkele vellen papier die volgeschreven zijn met reeksen getallen.

De lange brief, gedateerd 4 januari 1822, begint als volgt: U zult na lezing onder de indruk zijn van de aan u toegekende verantwoordelijkheid en het in u gestelde vertrouwen. De redenen hiervoor zijn eenvoudig uit te leggen. Wij hebben iemand nodig die onze wensen kan uitvoeren voor het geval een ongeval ons treft. Wij hebben u gekozen omdat u bekend staat als een integer man met een scherpzinnig zakelijk inzicht. Ik heb geruime tijd in uw hotel doorgebracht om dit persoonlijk te kunnen vaststellen.

Vervolgens beschrijft Beale hoe hij met een joviale bende van 29 vrienden, allemaal verzot op avontuur, liefst met enig gevaar vermengd, in april 1817 een jachtexpeditie onderneemt naar het Wilde Westen. In het voorjaar volgt de groep jagers, geplaagd door vermoeidheid, verveling en guur weer, ongeveer vijfhonderd kilometer ten noorden van Santa Fé een immense kudde bizons in een diep ravijn. Als ze kamp opslaan ontdekt één van hen goud in een rotsspleet.

Geholpen door bevriende indianen winnen ze de volgende achttien maanden goud en zilver. Beale en zijn vrienden brengen de buit naar Virginia, waar ze de schat willen opslaan in een grot die ze al eerder hebben bezocht. Maar uiteindelijk vinden ze het toch een te onveilige plaats. De boeren uit de omgeving gebruiken de grot als koelcel voor hun producten. Beale en zijn kornuiten zoeken en vinden een andere bergplaats. Na wat heen en weer gereis deponeren de avonturiers nog meer goud in de geheime bergplaats en brengt Beale de ijzeren kist naar Morriss.

Er zijn drie papieren met cijfers. Het eerste zou exacte locatie van de schat bevatten. Het tweede zou een beschrijving geven van de schat zelf. Op het derde zouden de namen en adressen van de dertig avonturiers staan. Morriss mag de schat in eenendertig gelijke delen, verdelen over de familieleden van de avonturiers en één deel voor zichzelf houden. “Om kort te gaan, waarde vriend, ik verzoek u geen valse of ijdele vormelijkheid te betrachten om te voorkomen dat u het toekomende deel ontvangt en in bezit neemt. Het is een geschenk, niet alleen van mijzelf, maar van allen in onze groep. Het weegt ruimschoots op tegen de van u gevraagde inspanningen.”

Het laat zich begrijpen dat Morriss’ nieuwsgierigheid geprikkeld wordt door de inhoud van de kist. De overlevering vertelt dat hij minder door hebzucht wordt bewogen dan door de wens het in hem gestelde vertrouwen niet te beschamen. Hij wijdt de laatste 19 jaar van zijn leven aan het zoeken naar de schat. Zonder decoderingssleutel boekt hij evenwel geen vooruitgang. Als hij zijn einde voelt naderen neemt hij zijn barman James Ward in vertrouwen. Ward is een rustige huisvader die genoeg gespaard heeft om de rest van zijn leven te besteden aan het vinden van de schat. Het wordt zijn ondergang. Hij raakt volledig geobsedeerd door de codes nadat hij erin slaagt de tweede bladzijde, met de beschrijving van de inhoud, te ontcijferen. De ontcijfering van de tweede bladzijde zou een feestje waard zijn geweest, ware het niet dat hij daarna alles opgeeft wat hij heeft, familie, vrienden en eerlijke bezigheden, voor wat een illusie zal blijken te zijn. Hij zwoegt, ploetert en lijdt aan slapeloosheid. Keer op keer monden zijn werkzaamheden uit in teleurstelling.

Tot op de dag van vandaag is het breken van de Beale-codes onderwerp van studie voor vele knappe koppen. Het prachtboek “De wraak van Archimedes” van Paul Hoffman geeft er een bespreking van. Ook Wikipedia geeft veel informatie over deze romantiek van de wiskunde.

bronnen:
1) Paul Hoffman (1989), De wraak van Archimedes, Amsterdam, Bert Bakker
2) https://en.wikipedia.org/wiki/Beale_ciphers gedownload op 25-02-2019



Een Calatravawandeling door Haarlemmermeer

Bouwen Posted on Tue, February 12, 2019 13:18:02

De aanleiding

Geïnspireerd door het prachtige boek “De nieuwe Mathematica van de Hedendaagse Architectuur” van Jane en Mark Burry heb ik op een winderige zaterdag 9 februari 2019 een Calatrava wandeling ondernomen door Haarlemmermeer. In genoemd boek wordt aandacht gevraagd voor een andere manier van gebruik maken van de wiskunde bij het ontwerpen van gebouwen. De inleiding is geschreven door Brett Steele van de Architectural Association in Londen en ik ben zo vrij stukken hieruit te citeren:

Jan en Mark Burry geven een fantastisch beeld van het fascinerende spel dat de hedendaagse architectuur en de wiskunde met elkaar spelen. (…) Architecten hebben altijd wiskunde nodig gehad, in ieder geval vanaf het moment dat een van hen met een stok een rechte hoek in het zand tekende en besefte dat getallen een goed hulpmiddel waren om het architectonische idee aan iemand anders over te dragen. (…) Dat de wiskunde sterk verbonden is met de architectuur is voor bouwkundigen vanouds een vanzelfsprekend gegeven. De theoretische grondslag hiervoor heeft Vitruvius zo’n tweeduizend jaar geleden gelegd in zijn klassiek tien boeken “Over de bouwkunst”. (…) Zeggen dat wiskunde een integraal onderdeel van de architectuur vormt, is hetzelfde als zeggen dat getallen handig zijn bij het tellen. (…)

Wat is er dan zo bijzonder aan de huidige dialoog tussen architectuur en mathematica? (…) De kracht en de complexiteit van de mathematische processen in de architectuur zijn groter geworden en tegelijkertijd is de pure wiskunde binnen de architectonische taal en het architectuurdebat op haar retour. Architecten spreken niet langer de taal van hele getallen of voorspelbare geometrische vormen, net zomin als van tekeningen met vaste dimensies of meetbare schalen. Dit is uiteraard te danken aan een andere hedendaagse revolutie: Het feit dat architecten op hun bureaus vrijwel universeel gebruikmaken van digitale ontwerpplatforms, die niet alleen de basis voor de architectonische praktijk zijn geworden, maar ook het communicatiemiddel bij uitstek om ideeën te ontwikkelen en te verspreiden.

Als we het hebben over het intensieve gebruik van computers en informatiesystemen door ontwerpbureaus, zien we vaak over het hoofd dat hierbij wiskundige processen alomtegenwoordig zijn. Deze blindheid is deels te verklaren doordat programma’s zo ontworpen zijn dat ze proberen hun geavanceerde wiskundige achtergrond achter hun uiterlijk te verbergen. Denk bijvoorbeeld eens aan de meest basale of traditionele architectonische ontwerpactiviteiten, zoals het tekenen van een lijn. Deze activiteit die met simpele muisklikken en toetsaanslagen wordt uitgevoerd vereist binnen een digitale ontwerpomgeving een verbijsterende reeks met onvoorstelbare snelheid uitgevoerde wiskundige operaties van verbluffende complexiteit.

En dit is het moment waarop de dingen opeens heel interessant zijn geworden met betrekking tot de huidige wederopleving van de relatie tussen architectuur en wiskunde. Doordat de wiskunde verstopt zit in computersoftware, is er een lacune ontstaan in de architectentaal. Die wordt nu opgevuld door de wiskunde juist heel erg zichtbaar te maken in het ontwerp. Het boek “De Nieuwe Mathematica van de Hedendaagse Architectuur” staat vol met prachtige voorbeelden hiervan. Lezen dat boek!

Gevierd en berucht
De bouw van drie, door de beroemde en verguisde Spaanse architect Santiago Calatrava Valls ontworpen bruggen, zal niet onopgemerkt aan de Nederlandse krantenlezer en televisiekijker voorbij gegaan zijn. Met de uitvoering ging het zoals met veel van zijn bouwwerken. Wikipedia zegt over hem: Hij creëert veel vernieuwende werken met oog voor zowel de vormgeving als de structuur. Aan de andere kant krijgt hij veel kritiek wegens ontsporende budgetten en bouwtermijnen alsook een lage functionaliteit en lage klantentevredenheid.

Wie wil kan op internet veel boze artikelen over hem vinden. Die gaan over kosten en slordige afwerking. Ik vind zijn werken vooral erg mooi en wiskundig interessant. Het is jammer dat de wiskundige en esthetische kant van zijn werk zo door de negatieve kritiek, die er natuurlijk ook mag zijn, overschaduwd wordt. Ik raad het een ieder aan mijn wandeling langs de Hoofdvaart van Nieuw Vennep naar Hoofddorp een keer te doen en rustig stil te staan bij elk van de drie bruggen om van de schoonheid te genieten.

Hoe heb ik het aangepakt
Omdat Haarlemmermeer een terra incognita voor mij was, heb ik de locaties van de drie bruggen eerst maar eens in Google Maps opgezocht. De bruggen verbinden de oevers van de Hoofdvaart en wel tussen Nieuw Vennep en Hoofddorp. Beide plaatsen liggen aan de spoorlijn van Amsterdam Centraal naar Leiden en er stopt een Sprinter. Het ligt voor de hand er mijn eigen ns-wandeling” van te maken. In Google Maps teken ik onderstaande eenvoudige wandeling.

De reis
Het is mijn bedoeling vanaf Amsterdam Centraal eerst met de Sprinter naar Nieuw Vennep te rijden. Door werkzaamheden gaat de trein echter niet verder dan Schiphol Airport, waardoor ik op zeker moment in een optocht van rolkoffers over het perron naar een lichtelijk overbevolkte roltrap schuifel. Vrolijk verbaas ik mij over de vele verschillende talen ik om mij heen hoor spreken. Eenmaal buiten gekomen waai ik met windkracht 7 van het ene busplatform naar het andere tot ik aanland bij een jongeman in een geel hesje die mij bevestigt dat binnen afzienbare tijd hier de speciale NS-bus naar Nieuw Vennep gaat stoppen.

“U hebt een cool beroep, met deze lage temperaturen, verergerd door de harde wind.” merk ik op.

“Zegt u dat wel, meneer,” klappertandt de werkstudent, blij dat er eindelijk eens iemand oog heeft voor zijn Siberische omstandigheden. “Ik sta hier al vanaf vanochtend half vijf.”

Ik vraag me af of ik hem een van mijn boterhammen met kaas zal aanbieden, maar overweeg dat dit als een te grote opdringerigheid kan worden ervaren. In deze tijd lijkt de jeugd welhaast nog alleen broodjes van de over toonbank te eten, maar ik kan mij vergissen natuurlijk.

“U bent lekker dik gekleed, zie ik,” geef ik uiting aan het resultaat van mijn observaties, want zulke brede schouders heeft een student van zijn leeftijd nou ook weer niet.

“Wat denkt U? Een hemd, twee T-shirts, een overhemd, een dikke trui van mijn vader, een bodywarmer, een winterjas …”

“En een geel hesje,” vul ik aan.

“Ja, maar daar moet u niets achter zoeken.”

Ik haast me te zeggen dat ik dat ook echt niet doe. In deze tijd van opstanden door in gele hesjes geklede heethoofden kan men niet voorzichtig genoeg zijn.

“Alleen jammer dat ik vergeten ben een thermobroek onder mijn gewone broek aan te trekken.”

“Toen ik nog student was, hield ik bij dit soort uitzendwerk ’s ochtends gewoon mijn pyjamabroek aan als ik mijn spijkerbroek aantrok.” zeg ik, want dat lijkt me een interessante bijdrage aan de discussie.

Hij kijkt me aan met een blik van “pyjamabroek wat is dat” en richt zich vervolgens op andere passagiers om in een Babylonische spraakverwarring te trachten met zijn beste Engels, Frans of Duits allerlei Zweden, Japanners, Indiërs, Italianen, Afrikanen en Brazilianen verkleed als Eskimo’s de juiste bus in te krijgen.

Eenmaal in de juiste bus gezeten, kijk ik tevreden om mij heen. Dat regelen de Nederlandse Spoorwegen toch altijd maar goed. Van treinreizigers in België en Frankrijk hoor ik wel eens dat men daar het verder zelf maar moet uitzoeken als een traject uitvalt. Het kan zijn dat de reiziger daar in “the middle of nowhere” zich vertwijfeld afvraagt waar hij heen moet, als hij zojuist uit een kapotte trein is gestapt. Dat doet de N.S. toch echt veel beter.

In Nieuw Vennep aangekomen loop ik bij het station via de Venneperweg, hoe verzinnen ze het. Bij de Witte Kerk sla ik rechtsaf de Hoofdweg langs de Hoofdvaart in. Ik weet dat ik tot Hoofddorp deze Hoofdweg via het fietspad moet volgen – hoofdzakelijk zou ik er bijna aan toevoegen.

HARP
Aan de rand van de bebouwde kom ontwaar ik al snel de contouren van de eerste door mij zo bewonderde brug.


Dichterbij gekomen ontwaar ik een vrij liggend grasveld vanaf waar ik kan fotograferen.

Esthetisch heel fraai en wiskundig zeer verantwoord aan deze brug is natuurlijk de kromme lijn, die lijkt te ontstaan door het samenspel van al de rechte tuidraden. In mijn onvolprezen wiskundeprogramma Geogebra kan ik dit nabootsen. Wiskundig gezien komt het hier op neer: als ik van een kromme lijn heel veel raaklijnen teken, ontstaat een beeld van de oorspronkelijke kromme lijn, zonder dat ik die ook daadwerkelijk teken. In onderstaand plaatje heb ik van de functie f(x) = 1/x een hele serie raaklijnen getekend. Deze raaklijnen omsluiten samen de oorspronkelijke grafiek van de functie. Het lijkt zelfs of ik die getekend heb, maar dat is dus niet zo.

Bovenop het talud, kan ik veilig op een verkeersheuveltje midden op de rijbaan plaats nemen om de volgende foto te scoren:

HARP zorgt er voor dat men, rijdend op de Noordelijke Randweg, de overkant van de Hoofdvaart zonder tewaterlating kan bereiken. De brug is 143 meter lang. Lengte pyloon: 82 meter.

In de zomer kan ik mij een zonnige picknick op het grasveld, onderwijl genietend van het uitzicht op de schoonheid van HARP, best voorstellen. Op dit moment nodigen de weersomstandigheden niet echt uit tot zitten in het koude gras en ik vervolg mijn weg schielijk, daarbij geholpen door wind in de rug.

De volgende brug die ik tussen het geboomte ontwaar heet

CITER


Indrukwekkend, toch? Het zijn eigenlijk twee bruggen. De semi-fietsbrug, links op de foto is parallel aan de Hoofdvaart over de Nieuwe Bennebroekerweg. Minder goed te zien is hier een autobrug over de Hoofdvaart. Lengte pyloon: 62 meter.

Door de lage zon lukt het met niet om een redelijke foto vanaf de andere kant te maken. Wel heb ik van Google Maps onderstaande foto gepikt. Vanuit de lucht is de fraaie structuur min of meer te zien.

Bij CITER is de wind op zijn heftigst en de plek nodigt daardoor niet uit tot een lang verblijf. Ik vervolg mijn weg via het fietspad, waar ik in totaal, gedurende het uur dat ik er loop, drie fietser ontmoet.

LUIT
De derde Calatravabrug voert de Maria Tesselschadelaan over de Hoofdvaart in Hoofddorp. De brug dient tevens als rotonde. Lengte pyloon: 48 meter.

Als je er omheen loopt geven de tuidraden je steeds een ander beeld.




Het station Hoofddorp is vanaf deze plaats makkelijk te vinden. Je loopt het fietspad richting Hoofddorp verder af, totdat je een bordje “station” ziet. De trein brengt je terug naar Amsterdam Centraal.
In totaal ben je met deze wandeling, inclusief treinreizen, zo’n twee en een half uur onderweg.



Next »