Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

De wiskunde van het breien

Meetkunde anders Posted on Fri, October 26, 2018 13:10:15

Deze winter gaat er voor mij een dikke trui gebreid worden, waardoor bezuinigingen op aardgasgebruik in het verschiet liggensmiley. Een gebeurtenis die mij aanleiding geeft de wiskunde van het breien nader onder de loep te nemen. Vierendertig jaar geleden liet C. Maurer Crutzen in De Nieuwe Wiskrant een artikel het licht zien met als titel “Breien met Wiskunde”. Ze vertelt hierin dat in haar derde klas VWO meisjes ook wel vragen stelden over wiskunde, maar met name geïnteresseerd waren in de patronen van haar, door moeder en zus, gebreide truien. Door dit samengaan van wiskunde met een praktische toepassing is ze zelf ook gaan breien en heeft ze voor haar leerlingen een wiskunde-brei-practicum opgezet. Ze besluit het inspirerende artikel met: Breien is een onderwerp, dat aansluit bij de ervaringswereld van leerlingen en vooral van meisjes. Er wordt wiskunde bedreven in een praktische probleemsituatie. Breipatronen kunnen vooraf worden berekend met behulp van wiskunde. Het proberen en weer uithalen van hele lappen breiwerk , kan door een wiskundig model worden voorkomen. Wiskunde bewijst zijn nut in een praktische situatie. Ook voor de leerling, die niet zelf kan breien is het een leuke ervaring om zijn of haar eigen trui te ontwerpen. Breien is een onderwerp, waarin een wiskundig model gebruikt kan worden, dat de werkelijkheid goed benaderd. Breien is geschikt om een relatie tot stand te brengen tussen de vakken handvaardigheid en wiskunde. Het is dus een onderwerp, dat de kenmerken bezit die geformuleerd zijn voor vernieuwend wiskundeonderwijs. Voor het artikel: klik hier

De schrijfster was daarmee haar tijd ver vooruit. Ik weet dat zo hier en daar in het land docenten met de leerlingen gebreid hebben om wiskundige concepten te verduidelijken. Maar voor de meeste wiskundeleraren is een “breiwerk” nog steeds een term voor een bepaald type rommelige berekening en “breiwerk” heeft hierdoor in de wiskunde-onderwijs wereld helaas een negatieve klank.

Zelf kan ik (nog) niet breien en daardoor heb ik de ideeën van mevrouw Maurer Crutzen nooit in de praktijk gebracht. Wel ben ik in de loop der jaren een aantal leuke wiskundeopgaven tegen gekomen, die het memoreren waard zijn, zoals deze uit het MAVO eindexamen 1995:

Mirjam gaat een hesje breien. Hieronder is het patroon van dat hesje getekend. De maten staan erbij in cm.

Mirjam breit eerst een proeflapje. Met de wol die zij gebruikt, moet zij voor 10 cm breedte 22 steken opzetten en voor 10 cm lengte 24 naalden breien.

Het rugpand moet 56 cm breed worden.

opdracht 1

Bereken hoeveel steken Mirjam daarvoor moet opzetten. Schrijf je berekening op.

Als je geen antwoord hebt gevonden bij vraag 9, neem dan 131 steken.

Wanneer Mirjam het rugpand af heeft, wil zij midden op dit rugpand een motief borduren. Dat motief is hieronder op ruitjes getekend. Elk hokje is één steek van het breiwerk.

Mirjam wil met het motief bij borduursteek A beginnen.

opdracht 2

Bereken hoeveel steken vanaf de rechterkant van het rugpand dat is. Schrijf je berekening op.

Volgens Mirjam worden de afmetingen van het borduurmotief op het rugpand ongeveer 12 bij 17 cm.

opdracht 3

Ga met een berekening na of dit klopt. Leg je antwoord uit.

Langs de voorkant en de hals van het hesje wil Mirjam een sierband naaien, zoals op de foto hierboven.

opdracht 4

Teken in de patronen bovenaan deze pagina waar de sierband vastgenaaid moet worden.

Mirjam heeft nog 1,75 m sierband in huis.

opdracht 5

Ga na of dit voldoende is voor het afwerken van het hesje. Leg uit hoe je aan het antwoord komt.

antwoord 1

Het aantal benodigde steken voor 56 cm is dan 5,6 x 22 = 123,2 dus 123 steken.

antwoord 2

Het aantal hokjes op de onderste rij van het motief is 27. Het totale aantal steken op een rij van het rugpand is 123. Er blijven dan voor de beide buitenkanten van rugpand 123 – 27 = 96 steken over. Voor de rechterkant van het rugpand blijven dan 96 : 2 = 48 steken over. Mirjam moet dus op de 49stesteek vanaf de rechterkant van het rugpand beginnen met het borduurmotief.

antwoord 3

Bekijk eerst de breedte van het borduurmotief. Het aantal steken op een rij is 27 en je weet dat 22 steken = 10 cm. De breedte is dan 10cm x (27\22) = 12,3 cm, dus ongeveer 12 cm.

Bekijk daarna de lengte. Tel het aantal hokjes (= het aantal naalden) in een kolom. dit aantal is 41 en je weet dat elke 24 naalden = 10 cm.

De lengte is dan 10 cm x (41\24) = 17,07 cm, dus ongeveer 17 cm.

De afmetingen die Mirjam geeft kloppen.

antwoord 4

De sierband komt op het voorpand niet aan de onderkant.

De sierband komt op het rugpand niet op de plek waar de voorpanden erop worden vastgenaaid. Je krijgt dan de volgende tekeningen.

antwoord 5

Voor het rugpand is 22 cm nodig.

Nogmaals de tekening, maar nu met een paar letters erbij:

Stelling van Pythagoras: AB = wortel(33^2 + 11^2) = 34,8 cm.

Totaal nodig: 43 + 34,8 + 43 + 34,8 + 22 = 177,6

Mirjam heeft maar 175 cm, dus net niet genoeg.

Wat zou ons onderwijs er op vooruit gaan als de leerlingen alleen ’s ochtends theorievakken volgden en zich ’s middags met praktische vakken, zoals breien, mochten gaan bezig houden. Helaas heb ik maar al te vaak op vrijdagmiddag het 7e en 8e uur vermoeide klassen aan de gang moeten houden achter een boekje en een schriftje. Het artikel van mevrouw Maurer Crutzen gaf vierendertig jaar geleden al aan hoe het anders beter kan.

Het internet is een schatkamer vol ideeën over dit mooie onderwerp.



Schemeren met Lénárt

Meetkunde anders Posted on Mon, October 08, 2018 10:13:13

Als je een vliegreis naar een ver oord plant, is het aardig om op internet eens te onderzoeken hoe je 747 vliegt. Dat is over het algemeen niet via de kortste weg over een platte kaart: de kortste weg over een bol gaat anders. Iedere piloot weet dat de kortste vliegafstand tussen twee ver verwijderd luchthavens langs een Grootcirkel gaat. De Grootcirkel heeft dezelfde functie als de rechte lijn in het platte vlak. Een indruk hiervan krijg je door het plaatje hieronder. Bron: klik hier

István Lénárt

Omdat bolmeetkunde zo verrassend anders is dan vlakke meetkunde ontwierp de Amerikaanse Hongaar István Lénárt de naar hemzelf vernoemde Lénárt Sphere. Al in 1996 schreef Jan van den Brink een boekbespreking in het vakblad voor de wiskundeleraar Euclides over het toen net verschenen doe-boek Niet-Euclidische Avonturen op de Lénárt Sphere. In de inleiding van dit boek, die ik tweedehands via Amazon wist te aan te schaffen, bedankt de schrijver vrouw en kinderen voor het geduld dat ze met hem hadden tijdens de vele uren dat hij aan het keukentafel zijn mooie materiaal schiep met bijbehorende “klasactiviteiten”. Het resultaat is het geduld van vrouw en kinderen meer dan waard.

Een Lénárt Sphere is een perspex bol die zeer geschikt is voor onderzoekende leren op het gebied van de bolmeetkunde. Het is nogal duur om aan te schaffen, maar Its Academie in Amsterdam bedacht een oplossing. Its Academie leent leskisten uit met Lénárt Spheres. Geïnteresseerd? Klik hier. Daarnaast publiceerde Its Academie voor 3 HAVO een lesbrief met onderzoeksvragen over meetkunde op de bol die overigens ook door leerlingen in 1 en 2 VWO kan worden gebruikt.

De leskist bevat zes kartonnen doosjes met daarin, naast de Lénárt Sphere, allerlei accessoires zoals een bolliniaal die als een hoedje over de bol past, een bolhoekmeter, een bolpasser en verder stiften met wateroplosbare inkt en elastiekjes.

Bolmeetkunde is anders

· Niet alle cirkels op een bol zijn grootcirkel. Parallellen (breedtecirkels) zijn geen Grootcirkels.

· De drie hoeken van een driehoek in het platte vlak zijn samen 180o, maar op een bol is dat anders.

· Je kunt zelfs een tweehoek tekenen op een bol.

Door uitdagende vragen ontdekken de leerlingen met de Its Academy lesbrief dat bolmeetkunde en vlakke meetkunde essentieel verschillend zijn. Er moet vooral veel getekend worden. Het werkt het beste in tweetallen.

Dat maakt bolmeetkunde via de Lénárt Sphere tot een speelse sociale onderzoeksactiviteit voor leerlingen met interesse in bétavakken.

Wiskundige Aardrijkskunde

Een grote vijver vol praktische wiskunde is de Wiskundige Aardrijkskunde. Wie voor de Lénárt Sphere een leuke opdracht zoekt zou hier kunnen vissen. Mijn internetvangst op dit gebied is “Mathematische Geografie” uit 1907 van Willis E. Johnson, Ph.B., waarin ik tal van leuke plaatjes aantrof, die uitnodigen tot hands-on uitvoeren, zoals het plaatje hieronder.

De voorbereiding

De eerste opdracht aan de leerlingen is het op een helft van de bol tekenen van meridianen en parallellen. Dat is, met het bijgeleverde tekenmateriaal, een uitstekend uitvoerbaar, maar wel langdurig karwei. Vijftig minuten moet je daar zeker voor uitrekken. Ondertussen kan het materiaal voor het proef worden neergezet.

De proef

Materiaal:

Statief met een klem waarin een klein zaklantaarntje kan worden vastgezet.
Klein zaklantaarntje dat in de klem past. (Action)
Stevig overtrekpapier. Op de rol verkrijgbaar bij de kunst- en knutselhandel.
Doos met Lénárt Sphere en toebehoren.
Schaar
Stift
Pen

Uit een Amerikaanse lesbrief haalde ik het volgende practicum. Je ziet dat bij ontbreken van de Lénárt Sphere dus ook het bovenste gedeelte van een petfles gebruikt kan worden:

Opdracht 1: Polaire Projectie

Snij de tuit en de kop van een limonadefles af zoals in de figuur of gebruik de Lénárt Sphere. Teken zo netjes mogelijk meridianen en parallellen. Zet de top met de kleine opening op een stuk papier. Schijn er vanaf de bovenkant met de puntlichtbron op. Teken de schaduwlijnen over.

Mooi plaatje uit de lesbrief

Foto Karen Vermeulen 20160216

Foto Karen Vermeulen 20160216


Opdracht
2:
Cilindrische Projectie

Rol het overtrekpapier rond de ‘globe’. Schijn met het licht door de globe op het cilindrische overtrekpapier. Teken de meridianen en parallellen op het overtrekpapier.

Nog een mooi plaatje uit de lesbrief

Foto Karen Vermeulen 20160216

Opdracht 3: Conische Projectie

Een conische projectie is een compromis tussen een vlakke en een cilindrische projectie. Maak een kegel uit overtrekpapier en laat die op de “globe” rusten.
Laat het licht door de “globe” op de kegel schijnen. Teken projecties van de meridianen en de parallellen op de kegel van overtrekpapier.

Alweer een mooi plaatje uit de lesbrief

Foto Karen Vermeulen 20160216

Foto Karen Vermeulen 20160216

Nodig de leerlingen nadrukkelijk uit zelf te experimenteren.

Je kunt leerlingen ook iets over Aardrijkskundige projectie leren door middel van kijken naar plaatjes in een boek. Maar deze werkwijze is echt beter, indachtig de woorden van de Chinese wijsgeer:



Vanuit een koffiekopje naar Mars

Meetkunde anders Posted on Thu, September 20, 2018 21:18:15

Na het bijwonen van mijn dochters plechtige proclamatie zit ik met mijn gezin op een terras aan één van Gents gezellige pleinen als mijn oog valt op een van de vele wiskundige bijzonderheden die iedere dag waarneembaar zijn.

In mijn lege koffiekopje wordt invallende licht zodanig weerspiegeld dat een zogenaamde brandkromme ontstaat. Ik ben waarschijnlijk alert op het verschijnsel door het lezen van een mooi artikel hierover in Pythagoras no3 van de afgelopen jaargang. Omdat ik al uit het kopje had geslobberd vond ik het plaatje niet echt fotogeniek en daarom heb ik, eenmaal weer thuis, van een schoon kopje nogmaals een foto genomen.

Een brandkromme in een origineel boerenbondkopje – foto Hans Schipper 20180920

De zonnestralen komen het kopje evenwijdig binnen en worden vervolgens weerkaatst. De weerkaatste lichtstralen zijn raaklijnen aan de kromme die je ziet. Het is een fenomeen dat Leonardo rond 1500 al is opgevallen, getuige de afbeelding uit zijn Codex Arundel die ik hieronder kan weergeven, omdat het gratis online beschikbaar is. Dit is het gevolg van een samenwerking tussen de British Library en Microsoft, getiteld Turning the Pages 2.0, waardoor 570 pagina’s van Leonardo da Vinci’s Codex Arundel gedigitaliseerd zijn. Blader er maar eens doorheen om onder de indruk te raken van zijn ideeën voor vliegtuigen, helikopters, parachutes, onderzeeërs en auto’s, eeuwen voordat ze werden ontwikkeld en gerealiseerd.

Een tekening door Leonardo – British Library

Toen we ’s avonds naar huis liepen wees een van mijn kinderen op de planeet Mars die schuin onder de wassende Maan stond te pronken. Dat herinnerde me aan een opgave die ik ooit voor een schoolexamen 6VWO samenstelde getiteld “Mars, can you hear me?”

Als het aan de Marssociety ligt worden er over twintig jaar bemande reizen naar Mars ondernomen. Als voorbereiding hierop wordt onderzoek op Mars momenteel uitgevoerd door robots. Een van de problemen in de communicatie met deze robots is de tijd die een bericht van de vluchtleiding op Aarde erover doet om Mars te bereiken.

Stand van enkele planeten vervaardigd met Fourmilab

Daar komt nog bij, dat de afstand tussen Aarde en Mars niet altijd even groot is. Kijk maar naar de plaatjes.

Stand van enkele planeten op een andere datum, ook vervaardigd met Fourmilab

Je ziet ook dat de banen van Aarde en Mars geen cirkels zijn. Het zijn ellipsen.

Met goniometrie kunnen we een redelijke nauwkeurige formule opstellen voor de afstand tussen de planeten en daarmee een schatting maken van de tijd die een radiografisch verstuurd bericht erover doet om Mars te bereiken. We moeten daarvoor een vereenvoudigd model opstellen.

Gegevens:

Dit vereenvoudigen we tot:

We doen de volgende aannames:

smiley De planeten worden opgevat als punten.

smiley De planeetbanen zijn cirkels.

smiley Als eenheid van afstand kiezen we 75 000 000 kilometer, dus in de formule hieronder komt x = 1 (en ook y = 1) overeen met 75 000 000 kilometer.

smiley We maken een model van de planeetbanen in een assenstelsel met de Zon in (0,0).

smiley De eenheid voor t is 1 jaar.

Op grond van deze aannames komen we tot de parametervoorstellingen:

Aarde:

Mars:

In het plaatje hieronder zie je een opzetje om de beweging van Mars te beschrijven als baan rond de Aarde als centrum.

De horizontale afstand en de verticale afstand kun je eenvoudig beschrijven:

Maak je nu een nieuw assenstelsel met de Aarde als oorsprong, dan kun je de delta-tekentjes weglaten. Dan kan het geheel worden ingevuld in het parameter-scherm van de onvolprezen Grafische Rekenmachine. Dit geeft het volgende plaatje:


En dat is toch weer heel mooi, hè?! Het fascinerende vind ik dat je bij twee zo uiteenlopende onderwerpen, zoals een koffiekopje en een planeet, uitkomt bij eenzelfde soort wiskundig model.

(De schoolexamen opdracht ging nog verder, maar ter voorkoming van hoofdpijn bij de lezer laat ik het hierbij.smiley)



Het geheim van de Kruittoren

Meetkunde anders Posted on Fri, September 07, 2018 08:27:47

Ongeveer midden tussen Station Zutphen en Het Baudartius College in staat stoer en stout de Kruittoren, restant van de Middeleeuwse stadsverdediging. In het stationsgebied is er verder niets meer terug te vinden van het ooit zo sterke systeem van muren en torens. Alleen in het plaveisel zijn, heel creatief, de contouren aangebracht van de nu verdwenen stadsmuren.

De Kruittoren – foto Hans Schipper – 2014

Naar het noorden toe is er iets meer. Onderin de flat van Torenstad staat een volumineus brokstuk van de stadsmuur dat uit de grond is getakeld om de bouw van het huidige woon- en bedrijfscomplex mogelijk te maken. Onder Het Baudartius moet nog menig kloostermop in de grond zitten en naast de school streelt de monumentale Spanjaarpoort het oog.

De Spanjaardpoort – foto Hans Schipper – 2014

De verrader Graaf van den Berg zou hier op enig moment in de Tachtigjarige Oorlog stiekem de deur hebben open gezet om de Spaanse troepen binnen te laten, die vervolgens slachtingen en verwoestingen aanrichtten waar Zutphen pas na lange tijd weer overheen was. Zo kent Zutphen veel authentieke verhalen.

Om die authentieke verhalen te kunnen doorgeven is jarenlang met leerlingen van Het Baudartius een wandeling ondernomen langs de restanten van de vestingwerken. Die restanten kun je lezen als je weet hoe. Wij proberen tijdens een wandeling onze leerlingen muren te leren lezen.

Ooit, op zo’n dag der Middeleeuwse ontdekkingen, begeleid ik een groepje van 12 leerlingen. Als we stil staan om de Kruittoren in ogenschouw te nemen, overkomt ons het geluk dat torenwachter juist naar buiten komt. Ingaande op onze interesse nodigt hij ons uit voor een kijkje in de toren.

Het gewelf – foto Karen Vermeulen – 2015

Via een robuuste houten trap mogen we naar de etage. Dat is een ongeveer vierkante ruimte met een diagonaal van zeven meter. Het prachtige gemetselde gewelf is in het midden zo’n vier meter hoog.

Op deze eerste verdieping maken we kennis met de geheimzinnige fluister van de Kruittoren. Als twee waarnemers diagonaalsgewijs in de hoeken tegenover elkaar staan kunnen ze fluisterend een gesprek voeren ook al maakt de rest van de groep in het midden een enorm lawaai. Wat de ene waarnemer zegt komt niet rechtstreeks tot de ander, maar heel onverwachts van boven. Zo’n bijzonder, bijna eng, fenomeen, zo maar op een doordeweekse dag in Zutphen, dat wil iedereen wel even uitproberen.

Terwijl de groep middenin herrie schopt in het belang van de wetenschap, nemen er steeds twee om de beurt plaats in de hoeken om de fluister te ervaren.

Terug op school bespreken we wat we in de toren hebben ervaren. Ik nodig leerlingen uit te vertellen wat ze persoonlijk hebben ervaren. Daarna gaan ze in groepjes uiteen om te bedenken wat de oorzaak van het fenomeen zou kunne zijn geweest. Mijn leerlingen veronderstellen in hun minipresentaties allemaal dat het geluid kruipt langs het gewelf van de ene hoek naar de andere. Ik suggereer als vervolgstap in het denkproces dat de herrie van de groep die in het midden van de ruimte stond toch ook heeft kunnen kruipen langs het gewelf. Waarom konden de leerlingen die in de hoeken van de ruimte stonden elkaar dan toch zo duidelijk verstaan?

Dan is de les alweer afgelopen en ik beloof voor de volgende les een toelichting. Dat gezegd hebbende moet ik thuis stevig aan de studie, want lessen in geluid geef ik niet iedere dag. Gelukkig heb ik de driedelige serie “De natuurkunde van ’t vrije veld” van professor Minnaert in de boekenkast staan en een beetje bladeren levert al snel op wat ik zoek. Op bladzijde 42 vertelt Minnaert dat onder een ellipsvormig gewelf geluid dat in het ene brandpunt ontstaat via het gewelf wordt weerkaatst naar het andere brandpunt.

Afbeelding Geogebra – Hans Schipper 2014

De situatie heb ik getekend met het prachtprogramma Geogebra. Bij alle lijnstukjes staan letters. Als je a + b; d + e; f + g; h + i; j + k uitrekent, blijkt dat iedere geluidsweg even lang is.

Verderop beschrijft Minaert hetzelfde verschijnsel, maar dan ondersteboven: in een duinpan met een ellipsvormige bodem, een zogenaamde fluisterkom. Ook het “kruipen” van geluid wordt beschreven, maar gelukkig zie ik bevestigd dat dit minder luid is. De tekst is heel helder en ik kan iedereen, die geïnteresseerd is in de fysica van het dagelijks leven, aanraden “De natuurkunde van ’t vrije veld” aan te schaffen.

Op de “flap” staat: Moge ook dit deel ertoe medewerken, de overgrote rijkdom aan natuurverschijnselen te doen kennen waar wij bestendig van kunnen genieten en waarvan elk facet ons een nieuwe gevoelsstemming brengt en een nieuw schoonheid! Dat is wat mij betreft zeker gelukt!

Omslag De Natuurkunde van het vrije veld – bron: internet

Na zeer veel overleg met leerlingen en technische onderwijsassistenten van de school besluiten we het gewelf te gaan inmeten met behulp van een lange hengel voorzien van een meetlint: stapje voor stapje om de tien centimeter. Diagonaal van hoek tot hoek zullen we een rol behang uitrollen, waarop om de tien centimeter een stip staat. Aan de punt van de hengel komt een schietlood dat, in hoogte instelbaar, steeds boven een stip gehangen wordt. Aan dezelfde punt wordt ook het meetlint bevestigd, zodat de hoogte gemeten kan worden. De diagonaal is 7,20 meter lang, dat betekent dus dat ik weet wat ik zondagmiddag ga doen: ruim 70 stippen op een rol behang tekenen.

De werkzaamheden – foto Karen Vermeulen – 2014

Het hoogtemeten vindt steeds plaats met een groepje van vier. Na instructie wordt er begonnen, maar niet meteen met succes want het richten van de hengel, zó dat het schietlood precies boven een stip komt, vergt samenwerken met precisie. Als een groepje het in de vingers heeft wordt er boven een vijftiental stippen gemeten, waarna een ander groepje het mag overnemen om te ervaren dat het niet mee valt. Bij iedere stip wordt de gemeten hoogte geschreven. Eigenlijk moet de meting vele keren herhaald worden, maar daar hebben we de tijd niet voor.

Terug op school tekenen de leerlingen ieder voor zich op schaal de hoogtes op ruitjespapier. Bij benadering verschijnt inderdaad een ellips vorm. De brandpunten worden geschat en de procedure die hierboven staat vermeld ( a + b, d + e, f + g, h + i en j + k uitrekenen) wordt uitgevoerd. Dat geeft een aardige indruk.

Zo hebben brugklas leerlingen op praktische wijze een wiskundige analyse uitgevoerd om een bijzonder verschijnsel te kunnen verklaren.



Vurige wiskunde

Meetkunde anders Posted on Mon, September 03, 2018 19:20:47

De luciferkop zit in het brandpunt van de parabolische spiegel – foto Hans Schipper – 20180903

Op de eerste afbeelding van deze post ziet u een ding dat ik zou willen omschrijven als een parabolische luciferaansteker. Ik bewaar het trouw in mijn boekenkast. Wat mij betreft heeft het een tweedelig nut: aantonen dat een parabolische spiegel een brandpunt heeft en mij helpen herinneren aan een leuke vakantie met ons gezin in de Pyreneeën.

Het is de bedoeling dat het apparaatje met de spiegel in de volle Zon wordt geplaatst zodat, na enig geduld, de kop ontbrandt van een op juiste wijze geplaatste lucifer. Aan de afgebrande kop van de lucifer kunt u zien dat het ding inderdaad werkt. Zeker weten of de spiegel inderdaad parabolisch is doe ik niet. Ik vermoed dat de luciferkop ook in de brand vliegt als de spiegel sferisch is, bolvormig dus, maar parabolisch is beter.

Het dingetje is aangeschaft in de souvenirwinkel van Le Four Solaire bij het Pyreneese vestingstadje Mont Louis. Om bij deze zonneoven te komen hebben we een ochtendje moeten reizen vanuit onze camping in Le Barcarès ten Noord-oosten van Perpignan. Eerst met de auto naar Villefranche de Conflent en daarna verder, met de fantastische Train Jaune, de Pyreneeën in.

Le train jaune rijdt hier over één van de spectaculaire bruggen – foto Hans Schipper – 20070723

Als we het station uitkomen ontdekken we dat we nog een half uurtje met de Zon in de nek de berg op mogen lopen. De wandeling gaat over een asfaltweg die de zonnestralen zo danig terug kaatst dat van tweezijdige roostering sprake is. Je moet wat over hebben voor de wetenschap, zeg ik, bij wijze van motivatie. Mijn drie kinderen die dan nog in hun tienerjaren zijn, tillen hier hun wenkbrauwen lichtjes over op. Doris geeft geen krimp, terwijl haar gevoelige pootjes het toch moeilijk moeten hebben op dat asfalt.

Rondom de citadel van het stadje cirkelen legerhelikopters – foto Hans Schipper – 20070723

Er is een commando-opleidingscentrum in Mont Louis. Men springt uit helicopters en er weer in. Men tijgert, rent en kruipt. Het gade slaan van die echte kerels alleen al is het uitstapje waard en voornamelijk onze bezigheid voordat we het bezoekerscentrum binnen mogen. Eenmaal binnen in een enigszins vochtige ruimte van een zeventiende eeuws bastion die enigszins detoneert met de high tech waar we voor komen volg ik gedwee enkele in rap Frans gedane aanwijzingen op die ik min of meer meen te begrijpen. Dan mogen we verder en staan we oog in oog met Le Four.

De oven met het grote parabolische oog – foto Hans Schipper – 20070723

Met vooruitziende blik heeft de ingenieur Félix Trombe in de tweede helft van de jaren veertig van de vorige eeuw Mont-Louis tot de bakermat van de zonne-energie gemaakt. Hij bouwt met zijn team uit een groot aantal kleinere spiegels, een grote parabolische spiegel om zeer hoge temperaturen te kunnen bereiken. Zeer geïnteresseerd in experimenten met betrekking tot het testen van de materialen onder extreme omstandigheden staat het leger de installatie van de eerste zonne-energie oven met laboratorium op haar terrein toe .

Met meer dan 3000 zonuren per jaar is het voor de wetenschappers vanzelfsprekend om voor Mont-Louis te kiezen. In 1949 plaatsen professor Félix Trombe en zijn team de immense paraboolspiegel binnen de muren van de Citadel. Door de paraboolvorm worden de zonnestralen naar één punt geconcentreerd. De hitte stijgt tot meer dan 3.000 °C, een in die jaren nooit eerder bereikte temperatuur. Het record zal pas jaren later verbroken worden. Mooi mee genomen: de bron is gratis en blijft gratis (net als Facebook, maar dan echt waar).

Na enkele jaren van testen wordt de zonneoven verlaten. Er is dan een grotere gebouwd in d’Odeillo. De stad Mont-Louis koopt de oven. De Citadel is niet echt een handige plaats en men verhuist naar een bastion buiten het centrum. Er vindt nog steeds wetenschappelijk onderzoek plaats. Ook gebruikt men de oven voor de productie van keramiek en bronzen kunstvoorwerpen.

Een klein demonstratiemodel – foto Hans Schipper – 20070723

Om de hete temperatuur in het brandpunt te tonen houdt de gids tijdens de rondleiding er een dikke balk in. Het ding ontbrandt als een lucifer. Als ik mijn fototoestel pak, ben ik alweer te laat, dus moet u het doen van een ontbranding in een kleiner model.
Om de werking van de parabolische spiegel te tonen heb ik met het onvolprezen programma Geogebra een tekening gemaakt die hope;ijk verduidelijkend werkt.

Evenwijdige binnen vallende zonnestralen worden op de parabolische spiegel weerkaatst naar het brandpunt, waar het gloeiend heet wordt – tekening Hans Schipper – 20180903



Voronoi (2)

Meetkunde anders Posted on Sun, September 02, 2018 15:49:12

Op zaterdag geef ik de woonkamer een goede beurt en als ik mijn emmertje vul met schuimend sop komt bij mij zo nu en dan de term Voronoi op. Maakt u zich niet bezorgd …
De wiskundestudie biedt een referentiekader waarmee je soms analyserend naar de alledaagse werkelijkheid kijkt als een ander het houdt bij, nou ja … emmertje sop.

Credits: Klik hier.

In mijn post van gisteren beschreef ik mijn ervaring op de droge gecraqueleerde rivierbedding bij de IJsselsingel in Rheden. Dit 2D object kan wiskundig gemodelleerd worden met behulp van een Voronoi-diagram.

Maar vele 3D objecten, zoals het schuim en de spons in de foto hierboven maar ook het schuim van bier, kunnen ook volgens een Voronoi structuur worden geanalyseerd. Echt iets om over te mijmeren, als je op een zwoele zomeravond in je pilsje hapt!

De Britse natuurkundige Kelvin vroeg zich af hoe de ruimte kan worden verdeeld in cellen van gelijk volume met het kleinste oppervlak ertussen, d.w.z. wat was het meest efficiënte bubbelschuim? Hij gaf meteen ook maar het antwoord: opvullen met afgeknotte regelmatige achtvlakken en dat is lange tijd hét antwoord gebleven.

Credits: By TED-43 – Own work, CC BY 3.0, Klik hier.

In 1993 verzonnen de Ierse wetenschappers Weaire en Phelan een efficiëntere oplossing, waarbij de cellen wel hetzelfde volume hebben maar niet de zelfde vorm.

Credits: By Tomruen at English Wikipedia
Klik hier

Om meer inzicht in de structuur te krijgen is het erg zinvol om de tastzin te gebruiken en het geheel uit papier te knippen en te plakken. Je maakt er dan een ervaring van en dan begrijp je het beter. Op de volgende leuke website vind je het benodigde materiaal. Klik hier.

Deze mooie wiskunde is in China gebruikt voor de architectuur van Olympisch watersportcentrum bij de spelen van 2008. Daarmee is wiskunde dus niet alleen een gereedschap om krachtberekeningen en dergelijke mee te doen, maar ook de bron waaruit geput wordt om schoonheid te creëren.

Watersportcentrum The Watercube in Peking

Er komen steeds meer toepassing van de Voronoi structuur. Voronoi zal het niet beseft hebben toen hij rond 1900 het Voronoi-diagram beschreef.

Aan het einde van de schoonmaak trakteer ik mezelf op een kopje koffie en ook daarop tekenen zich de contouren af van een Voronoi-diagram.
Credits voor deze foto.



Voronoi (1)

Meetkunde anders Posted on Fri, August 31, 2018 12:52:02

Waarneming

De droogte van deze zomer heeft een, in het Nederlands landschap, redelijk zeldzaam fenomeen veroorzaakt. Veel meertjes, plassen, sloten en zijtakken van rivieren zijn droog gevallen. Aan de IJsselsingel in Rheden ligt een ondiep water dat bij de aanleg van de A348 van de IJssel is afgesneden. Ook daar sloeg de droogte toe. De rivierbedding gaf het volgende beeld:

Droge rivierbedding bij Rheden – foto Hans Schipper – 20180901

Droge rivierbedding, close up – foto Hans Schipper – 20180901

Bij het zien van dit fenomeen heb ik in het gezelschap, waarin ik op dat moment verkeerde, enthousiast geroepen: “Kijk een Voronoi-diagram in de droge rivierbedding.” Hierop werd lauw gereageerd, hetgeen ook door de warme weersomstandigheden teweeg gebracht zou kunnen zijn. Het valt niet altijd mee wiskunde de credits te geven die het verdient.

Foto van Voronoi als dertiger – bron: Wikipedia

Een verklaring

Nadat het water is verdampt, zal de modder opdrogen en verharden. Dat opdrogen en verharden moet ergens beginnen. Laten we die startpunten de kernen noemen. Door krimping zal de drogende modder scheuren, precies tussen twee keren in. Wiskundig gezien loopt die scheurlijn langs de middelloodlijn tussen twee kernen. Het proces heb ik in de hieronder staande strip weergegeven.

Constructie m.b.v. middelloodlijnen – Hans Schipper – 20180901

Toelichting op de strip

De rode lijnen vormen het Voronoi-diagram. In de figuur is bij de vier punten A, B, C en D een gebiedsindeling gemaakt volgens het naaste-buur-principe. Dit heb ik getekend met behulp van middelloodlijnen. De middelloodlijnen zijn hulpmiddel. Alleen het rood gekleurde gedeelte doet mee. De punten A, B, C en D heten de centra van de gebieden die zo ontstaan zijn.

Met het naaste-buur-principe wordt bedoeld dat de grenzen zo getekend zijn, dat elk punt in een gebied dichter bij het centrum van het gebied ligt dan bij elk ander centrum. Het gebied dat bij een centrum hoort, heet de cel van dat centrum. Naar de buitenkant toe zijn de cellen hier onbegrensd. Voeg je rondom meer punten toe dan ontstaat een begrenzing.

Het patroon dat ontstaat heet Voronoi-diagram naar haar ontdekker, de Russische wetenschapper Voronoi. Het verschijnsel komt op vele plaatsen in de natuur voor en ook in de statistiek wordt het gebruikt. Een van de meest fantastische toepassingen van Voronoi is die door de Britse arts John Snow. Hij gebruikte in 1854 een Voronoi-diagram om te illustreren hoe tijdens een cholera-uitbraak dichtbij een geïnfecteerde waterpomp veel meer mensen stierven dan bij andere waterpompen. Zo konden geïnfecteerde pompen worden opgespoord. Hoe levensreddend wiskunde en statistiek kunnen zijn!

Basalt

Vier basaltpaaltjes in Zutphen – foto Hans Schipper – 20180901

Bij de Walburgiskerk in Zutphen bevinden zich enkele basaltpaaltjes, die opvallen door hun natuurlijke uitstraling en door hun veelhoekige vorm. Kijk je er van boven op, dan zie je gelijkenis met een stukje droge rivierbedding. Dat kun je beter zien aan de hand van het volgende voorbeeld.

Close up van een basaltpaaltje – foto Hans Schipper – 20180901

Dijkwerkers hebben in de loop van de geschiedenis langs dijken in Nederland heel veel van dit soort basaltpaaltjes geplaatst. Door de vaak vijf- of zeshoekige vorm sluiten de verschillende basaltpaaltjes goed op elkaar aan, zoals de volgende foto van het monument voor de dijkwerker in Westkapelle laat zien.

De Dijkwerker, Westkapelle

Al die basaltpaaltjes zijn weg gehaald uit een basaltpaaltjesbos. Aan de westkust van Ierland schijnt er zoiets te zijn. De structuur van het basalt heeft een zelfde ontstaansgeschiedenis als de droge rivierbedding. Basalt is lava dat miljoenen jaren geleden is afgekoeld. Ooit is er een soms wel tientallen meters dikke laag gloeiend hete lava uitgestort door een boze vulkaan. Deze lava is gestold. Het stollingsproces is gestart in kernen. Tussen twee kernen in is het stollende lava gescheurd en dat leverde weer een mooi Voronoi-diagram op.

Basaltpaaltjesbos

Het is niet ondenkbaar dat er zich ergens, aan de rand van een droge rivierbedding met Voronoi-patroon, een oeverbedekking bevindt van basaltpaaltjes die als een soort betovergrootouders over hun jonge Voronoi achter-achter-kleinkindjes waken.

Toepassingen van Voronoi-diagrammen zijn ook te vinden in de Biologie (cellen), de Kristallografie (Wigner-Seitz zones) en de Meteorologie (Thiessen polygonen), waarmee maar weer gezegd wil zijn dat Wiskunde overal is.