Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

Negentiende eeuwse hightech

Lezen Posted on Sat, January 12, 2019 21:33:06

Met kerst kreeg ik Wächter der See, Die Geschichte der Leuchttürmecadeau, een Duitse vertaling van Sentinels of the Sea. A Miscellany of Lighthouses Pastvan de hand van de productieve Britse historicus en publicist R. G. Grant.


Net als de vele beschreven vuurtorens is het boek zelf een waar kunststuk. Het is zo rijk geïllustreerd dat het alleen al als plaatjesboek het bekijken waard is.

Vuurtorens werden in de negentiende en de twintigste eeuw in de frontlinie gebouwd van de menselijke strijd tegen de krachten van de natuur. De noodzaak tot het bouwen van krachtige bakens op de kusten van Engeland en Frankrijk werd ingegeven door het gigantische aantal slachtoffers dat viel bij het op de kust lopen van schepen.

Halverwege de achttiende eeuw bouwde de Engelse ingenieur Smeaton de eerste moderne vuurtoren, op een eilandje voor de kust van Plymouth, Eddystone. Smeaton wilde de hele toren uit steen bouwen. Bij vroegere vuurtorens bleek de houtbouw te brandgevaarlijk te zijn. Bovendien geloofde Smeaton dat de grotere massa van een stenen gebouw beter bestand zou zijn tegen de kracht van de golven. Voor de vorm van zijn toren oriënteerde hij zich op een eik die, zoals hij schreef, “breed is aan de basis, slank wordt naar het midden en taps toeloopt tot een punt aan de top”. Hij huurde een team van 24 arbeiders in, de ene helft steenhouwers, de andere helft mijnwerkers van tinmijnen in Cornwall. Om tijdrovende reizen van het vasteland naar het rif en terug tot een minimum te beperken, bouwde Smeaton een drijvende verblijf op een haringboot voor anker bij het rif.

De stenen blokken werden met elkaar verbonden tot een stevige, onverplaatsbare massa. Elk blok binnen een horizontale steenlaag werd aan de andere verankerd met behulp van zwaluwstaarten, een verbindingstechniek die door timmerlieden werd gebruikt. “Deuvels” van marmer en houten spijkers – een uit de scheepsbouw overgenomen techniek – koppelde de stenen lagen verticaal aan elkaar. Alle stenen blokken werden precies uitgehouwen op een bouwterrein, voordat ze naar de rotsen werden getransporteerd en met een door Smeaton ontworpen hefinrichting naar de bouwplaats werden gehesen. De Eddystone vuurtoren hield het maar liefst 100 jaar uit. Een grote technische prestatie in de ruwe wateren ten zuiden van Engeland.


Zijn ontwerp werd geperfectioneerd door de Schotse bouwer Robert Stevenson, grootvader van de beroemde schrijver. Stevenson bouwde rond 1800 de Bell Rock vuurtoren en hiervoor bracht hij enkele verbeteringen aan in het ontwerp van Smeaton. Stevenson had Smeaton zeer hoog staan. Het speciaal gebouwde schip dat voor aan- en afvoer van arbeiders en materiaal zorgde, werd Smeaton gedoopt. Extra handicap voor Stevenson was dat slecht twee keer drie uur per dag bij eb gewerkt kon worden, omdat alleen dan het eiland boven water kwam.

Met als helden de vuurtorens zelf, beschrijft Sentinels of the Sea het ingenieursgenie dat het mogelijk maakte om zelfs op de kleinste rotsformaties te bouwen en de innovaties die de lichten zo krachtig en betrouwbaar maakten.

Gebeurde de verlichting in de achttiende eeuw nog met kaarsen, in de negentiende eeuw verschenen steeds krachtiger (gas)lampen en natuurlijk de Fresnel-lens.

Het beheer van de vuurtoren was een eenzaam en veeleisend karwij. Soms was het wekenlang slecht weer en dan waren de vuurtorenwachters volledig geïsoleerd. Er worden verhalen verteld van vuurtorenwachters die er aan ten onder gingen en anderen die heldhaftig drenkelingen redden. Wie ’s nachts bovenin dienst had, had het niet breed. Een nacht lang door brengen in een draaiende lichtkoepel terwijl de wind op de ruiten beukt is geen pretje. De golven klommen soms tot bij de top omhoog langs de toren. Ook in sociaal opzicht eiste het werk veel van de mannen en de vrouwen. Het was een kleine gemeenschap waar binnen spanningen makkelijk op konden lopen.

In onze tijd zijn vuurtorens overbodig geworden. Gelukkig worden ze in stand en aan de gang gehouden door vrijwilligers met subsidies van overheden of particulieren. De vuurtoren is uitgegroeid tot een cultuurmonument dat onze kusten op esthetische wijze verrijkt. Dit mooie boek eert de geschiedenis van de vuurtorens. Wie uit romantische of technische interesse van vuurtorens houdt zou er eens een kijkje in kunnen nemen. Het is een mooie cadeautip en het siert de salontafel zeker.



Longitude door Dava Sobel

Lezen Posted on Thu, January 03, 2019 11:45:57

Op een van mijn Engelandreizen heb ik de lange zit in de bus veraangenaamd met het lezen van “Longitude, the true story of a lone genius who solved the greatest scientific problem of his time”. De introductie is geschreven door niemand minder dan Neil Armstrong, die daarin vertelt over zijn jeugd in Ohio, waar er maar twee bronnen waren met accurate tijd: de radio en “the courthouse clock”. Sommigen moesten daarop blindvaren omdat zij geen polshorloge hadden, anderen hadden er wel één en die ondervonden dat bijstelling van de tijd regelmatig nodig was. Dat is een mooi beeld om het lezen van de roman van Dava Sobel mee te beginnen, want precies de tijd weten is lange tijd een zaak van voortdurende aandacht geweest.

Longitude is ook in Nederland uitgegeven

Dava Sobel’s Longitude behaalde de status van bestseller op de New York Times nonfiction lijst in zowel hardcover als paperback. Dat is een grote prestatie.

Longitude is deels biografie, deels geschiedenis en deels wetenschappelijke exploratie. Het gaat over de zoektocht naar een nauwkeurige manier om de lengte op zee te bepalen. In tegenstelling tot de breedtegraad, die met eenvoudige middelen kan worden vastgesteld, wordt de lengtegraad met behulp van tijd bepaald. Om precies te zijn: je moet de tijd weten waar je bent en tegelijkertijd de tijd op een bekende lengtegraad, bijvoorbeeld de nulmeridiaan in Londen. Maar de tijd meet je met een klok en door al dat schudden van het schip was iedere klok als snel van slag. Het longitudinale probleem bleef tergend lang onopgelost. Het was een kwestie van leven en dood voor de zeevarenden. Als je je lengtegraad niet kende, kon je niet precies weten waar je was. Dat kon betekenen dat je met je schip te pletter voer op de rotsen of dat je je bestemming niet kon vinden. Verhalen zijn bekend van schepen die wekenlang rondvoeren op zoek naar een eiland om vers water te bunkeren. Vele duizenden manschappen vonden in de loop van de eeuwen op tragische wijze de dood als gevolg van dit gemis aan navigatie kennis en vaardigheden.

Timmerman en klokmaker John Harrison met twee versies van zijn chronometer, naar een olieschildering van Thomas King uit 1767

De Longitude Act van 1707 van het Britse Parlement stelde een prijs vast van 20 000 pond (een paar miljoen euro vandaag de dag) voor een “Praktische en Nuttige” oplossing van het probleem. Hiermee ging een race van start met zeer uiteenlopende deelnemers. Er waren twee scholen, die verschillend dachten over het longitudinale probleem. De wetenschappelijke school beweerde dat de oplossing lag bij het in kaart brengen van de hemel. De meeste wetenschappers van die tijd minachtten degenen die de andere weg van onderzoek hebben gevolgd: zij die geloofden dat de oplossing lag in het bouwen van een precisie tijdsinstrument. De held van het verhaal, John Harrison, een Engelse klokmaker, die zijn leven besteedde aan de zoektocht hoorde bij de laatste stroming.

Sobel volgt de vooruitgang van Harrison in de lengtegraad-race, en al de moeite de hij heeft moeten doen en met name de minne behandeling die hij heeft ondervonden. Weinig is eigenlijk bekend van het leven van Harrison, maar veel van de bittere rivaliteit tussen de astronomen en de ‘mechanica’ wordt gedetailleerd beschreven in historische documenten. Het is de strijd tussen deze twee facties die ervoor zorgt dat het boek tot het eind blijft boeien.

Sobel schrijft met helderheid en vitaliteit, met inbegrip van interessante kleine historische terzijdes die de lezer helpen het verhaal in zijn tijd te plaatsen. Haar stijl betovert.

Harrison heeft amper school gegaan en het lukt hem zelden zich fatsoenlijk schriftelijk te uiten. Dat is een van de aspecten van zijn persoonlijkheid die de lezer er toebrengt hem sympathiek te vinden. Hij moet toch maar opboksen tegen die arrogante Cambridge/Oxford elite met haar afschuwelijk dedain.

De strijd begint als Harrison in de dertig is en eindigt rond zijn tachtigste. De koning is het hele verhaal ter ore gekomen en hij grijpt in. Harrison strijkt zijn 20 000 pond op. De astronomen bijten in het stof. Eind goed al goed.

Op een van mijn Engelandreizen was ik zo gelukkig om de vier door Harrison gebouwde precisie-instrumenten te aanschouwen in het museum bij de Royal Observatory in Greenwich.

De Harrison chronometer nr. 4

Ik vond het verhaal zo mooi dat ik naar wegen zocht om het met mijn leerlingen te delen. Gelukkig is er in 2004 door Granada films een maar liefst 204 minuten durende televisieserie en daarvan afgeleide speelfilm uitgebracht. Deze is ook Nederlands ondertiteld te koop. De hoofdrollen worden gespeeld door niemand minder Michael Gambon (Harrison) en Jeremy Irons (Gould). Wat een fantastische film! Door vertoning aan mijn klassen heb ik deze “gedramatiseerde documentaire” wel tien keer gezien en het verveelde me nooit er naar te kijken.

Er zijn verschillen tussen boek en film. In de film wordt parallel aan de historie van Harrison het verhaal van Rupert Gould verteld. Dat gebeurt in het boek niet. In het boek wordt Gould wel genoemd op enkele bladzijden, maar dan is het ook wel op. Gould was een marineofficier die zich, na een nervous-breakdown, stortte op zijn hobby, tijdmeting. Het was misschien eerder een obsessie dan een hobby. Hij offerde zijn huwelijk en zijn gezondheid op om de uurwerken van Harrison te restaureren. De restauratie zou hem een groot deel van zijn verdere leven bezighouden. Gould was vooral gepassioneerd door oude tijdmeting. Zo schreef hij, na nauwkeurige research, het definitieve werk over de marinechronometer. In 1920 ontdekte hij de klokken van Harrison, die lagen te verkommeren in de opslagplaatsen van het Royal Observatory.

Rupert Gould is in de film veel prominenter aanwezig dan in het boek van Sobel. De levens van de twee mannen die op een bepaalde manier op elkaar lijken, hoewel ze uit heel verschillende klassen stammen, worden in de film in elkaar gevlochten. Door de vervlechting van de levens van de twee markante mannen ontstaat er een bijzondere filmische spanning waardoor het verhaal aan kracht wint.

Dankzij Goulds inspanning kunnen we de chronometers van Harrison in werking zien in het wereldberoemde National Maritime Museum in Greenwich. Zoals ik al eerder schreef: ik heb ze mogen bewonderen. Ik raad iedereen met bèta-mentality en sowieso iedere bèta-docent aan een keer een blik te werpen op dit prachtig staaltje achttiende eeuwse technologie. Het boek lezen en de film zien dragen bij aan je algemene natuurwetenschappelijke ontwikkeling. Boek en film zijn bruikbaar als referentie in bèta-lessen.

Rupert Gould met een van de chronometers van Harrison



Newton’s Clock door Ivars Peterson

Lezen Posted on Sun, December 02, 2018 17:12:15

Peterson vergelijkt de groei van zijn eigen belangstelling in astronomie tijdens zijn kindertijd in de Canadese provincie Ontario met de geleidelijke ontwikkeling van de Astronomie door de eeuwen heen van Ptolemeus tot de huidige geavanceerde inzichten. Hij vertelt ons hoe wiskundige beschrijvingen van het zonnestelsel geleidelijk van de kristalbollen van Ptolemeus zijn ontwikkeld naar ons huidige begrip van het zonnestelsel.

Daarbij geeft hij prachtige voorbeelden van fysische concepten.


In hoofdstuk 1 laat hij met een mooie tekening zien wat “sensitive dependence on initial conditions” betekent. Twee balletjes worden onder slechts een zeer kleine verschilhoek een soort flipperkast binnen geschoten. Door successievelijke botsingen is de uitkomst totaal het tegenover gestelde.

Bron: Wikipedia

Hoofdstuk 2 wordt geopend met het verhaal van de ontdekking en aansluitend de analyse van het Antikythera Mechanisme. Het betreft een ingewikkeld bronzen apparaat dat rond 1900 door de Griekse sponsduikers wordt gevonden en gedateerd is op 87 B.C. Dit ingewikkelde artefact lijkt te zijn gemaakt door een vakman uit de school van Posidonios, een prominente astronoom op het eiland Rhodos. Het is ‘een elegante simulatie van de hemel’ – de vroegst bekende simulatie van de bewegingen van hemellichamen. Een ander hoogtepunt van hoofdstuk 2 is het verhaal waarin verteld wordt hoe een boek met tafels, samengesteld door de Duitse astronoom Regiomontanus, jaren later de huid redde van niemand minder dan Columbus op het eiland Jamaica. Het laatste is het “petite histoire” dat het boek ook nog eens zo leuk maakt naast de diepzinnigheid die het vooral heeft.

Vervolgens leren we van de strijd van Johannes Kepler om iets tot stand te brengen te midden van de chaos van het gezin van Tycho Brahe. Hij ging er heen in 1600 om Brahe’s schatkist van astronomische gegevens te bestuderen. Maar Brahe was erg gierig met zijn data en probeerde het genie van de jonge Kepler vooral te gebruiken om een ​​rivaal te bestrijden. Ondanks deze en andere belemmeringen heeft Kepler een nieuw type telescoop uitgevonden en andere bijdragen aan de optica geleverd. Maar de kern van Keplers werk was het ontwikkelen van het idee dat planeten bewegen onder invloed van krachten in plaats van alleen in overeenstemming met een perfecte formule. Dit concept legde de basis voor Newton’s theorie.

Newton’s Principia, gepubliceerd in 1687, legde een solide theoretische basis onder de sterrenkunde. Na de ontdekking van Uranus door William Herschel in het voorjaar van 1781, werden zijn principes gebruikt door Le Verrier om de positie van de planeet te voorspellen die de baan van Uranus zou verstoren. Zoeken door de Berlijnse sterrenwacht deed Neptunus snel vinden op de aangewezen plek. Maar toch denkt men tegenwoordig dat Le Verrier met zijn berekeningen meerdere punten had kunnen aanwijzen voor Neptunus en dat het een kwestie van geluk was dat deze door hem aangewezen plek ook echt de planeet opleverde …

Met dezelfde methode werd uiteindelijk ook Pluto gevonden en toch zit daar ook een theoretisch probleem.

Zelfs in Newton’s tijd, beseft men dat de maan een baan volgt op een ingewikkelde manieren die de theorie niet kan verklaren. Zelfs de grote Laplace, meer dan een eeuw later, kon de discrepantie niet verklaren. En heden ten dage kunnen we het nog steeds niet. En we weten nu dat Pluto te klein is om de waargenomen afwijkingen in de baan van Neptunus te veroorzaken. Andere mysteries bestaan: de centrale vraag is of het zonnestelsel echt stabiel is. Maar ondanks onze veel grotere rekencapaciteiten kunnen we de bewegingen van de planeten op lange termijn niet voorspellen.

Het boek beschrijft de beweging van de Maan in Hoofdstuk 6 en brengt ons vervolgens bij Henri Poincaré, de Franse wiskundige die als eerste schreef over wat we in de wetenschap chaos noemen.

Prachtig vind ik de beschrijving van het effect van resonantie op de instabiliteit van de baan van een kleine planeet (bladzijde 184). Resonantie is een sleutelbegrip in de bestudering van de stabiliteit van banen van allerlei ruimtelichamen, maar het heeft misschien wel tegenovergestelde consequenties.

Saturnus-maan Hyperion, die in zijn baan tuimelt, levert het eerste solide bewijs van chaotisch gedrag. Deze bevestiging berust op het werk van James Klaverter in 1987. Indrukwekkend is de beschrijving van het geavanceerde computergebruik om de ontwikkeling van de toestand van het zonnestelsel over honderden miljoenen jaren uit te rekenen.

Het boek vertelt een fascinerend verhaal.



De schaal van Richter en andere getallen

Lezen Posted on Sun, November 11, 2018 12:25:22

Er zijn boeken die permanent verkrijgbaar zijn. De Prisma/Aula reeks uit de jaren vijftig en zestig bijvoorbeeld kun je “on demand” bestellen via bol.com. Het oeuvre van Hans van Maanen mag wat mij betreft wel bij die laatstgenoemde categorie worden gevoegd. Totdat het zo ver is, kun je de meeste van zijn boeken op de tweedehandsmarkt kopen.


Het eerste boek van Hans van Maanen dat ik zo’n vijfentwintig jaar geleden las, is De Schaal van Richter en Andere Getallen. Het heeft de manier waarop ik mijn vak presenteer zeker mede beïnvloed. Voor een leraar n.l.t. of wiskunde is het een leuk, maar vooral ook nuttig boek om te lezen. Het helpt je de soms droge wiskundestof in een historisch kader te plaatsen. Veel verhalen uit het boek kun je gebruiken om de les op te leuken.

Het boek is een vertaling en bewerking van het Amerikaanse “Reading the numbers”. Bibliothecaresse Mary Blocksma wilde hiermee voorzien in een ‘overlevingsgids’ die de logica en de willekeur achter cijfercodes, maten en gewichten uit de doeken doet. Omdat te onzent veel codes en maatsystemen volkomen verschillen van die in de Verenigde Staten heeft Hans van Maanen dit handige en informatieve werk geschikt gemaakt voor Nederlandse gebruikers.

Hans van Maanen beperkt zich niet tot een vertaling met wijziging van de dingen die hier anders zijn, maar neemt de vrijheid om de lemma’s naar eigen inzicht in te richten. De stukjes lenen zich om achter elkaar te worden gelezen.

Van Maanen behandelt in ongeveer honderd alfabetisch gerangschikte hoofdstukjes de numerieke aspecten van onder meer aardbevingen, autobanden, drukletters, jubilea, kredietkaarten, motorolie, schroeven en spijkers, zomertijd en zonnebrand. Hij legt uit hoe het E-wegensysteem in elkaar zit, wat de codes op treinrijtuigen betekenen en hoe de classificering van eieren werkt. De tekst is helder, smeuïg en leerzaam en leent zich dankzij een herleidingstabel en een register goed voor het opzoeken van allerhande zaken.

Dat er geen sprake is van een gortdroge opsomming van cijfers maar dat de tekst prettig leesbaar is, wil ik graag aan de hand van het volgende voorbeeld demonstreren:

Joseph Louis Gay-Lussac

Alcoholpercentage

Onze manier om de hoeveelheid alcohol in dranken uit te drukken in volumeprocenten ligt zo voor de hand, dat licht wordt vergeten dat zij nog geen twee eeuwen oud is. In 1824 publiceerde de Franse onderzoeker Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) zijn verhandeling over de “centesimale alcoholmeter”, een apparaat waarmee hij zeer nauwkeurig de verhouding tussen water en alcohol in een mengsel kan bepalen. Het “centesimale” sloeg op de schaal die hij daarbij voorstelde: die liep van 0 volumedelen (dus geen) alcohol) tot 100 (pure alcohol). Het alcoholgehalte kan dan simpel in percentages worden uitgedrukt: in een liter bier van 5 procent zit 5 centiliter alcohol en 95 centiliter water.

In 1990 schreef wetenschapsjournalist Felix Eijgenraam in NRC over “De schaal van Richter en andere getallen”:

Het is onvermijdelijk dat er enige foutjes sluipen in de eerste druk van een boek zo tjokvol feiten. Ik heb daar niet met een vergrootglas naar gezocht, maar stuitte er tijdens het lezen toch op een stuk of vier.

Schrijver Hans van Maanen is zo precies dat hij op zijn website een onderdeel heeft ingericht dat “vuile was” heet. Hier heeft hij zo veel als hij kan de fouten genoemd en verbeterd die in de loop van de jaren in zijn boeken zijn ontdekt. Net als eigenlijk al zijn werk is ook deze pagina weer lezenswaardig.

https://vanmaanen.org/hans/boeken/was.html

Enkele passages uit zijn werk kunnen ook alvast gelezen worden op

https://vanmaanen.org/hans/boeken/svr.html

Hans van Maanen is een zeer productieve schrijver en hij publiceert eigenlijk altijd op hoog niveau. Het feit dat hij een deel van zijn website inricht om fouten in zijn werk te noemen is veelzeggend, vind ik. Popper schreef het al: “Wetenschap ontwikkelt zich door fouten te maken”, toch?

Dat een beperkt aantal onderwerpen als gedateerd zouden kunnen worden aangemerkt, is helemaal niet erg. De millennial die het boek leest, leert en passant wat bij over girokaarten en Nederlandse bankbiljetten. Die behoren niet meer tot het referentiekader van de gemiddelde Nederlander van onder de dertig en dan is het juist goed om er over te lezen. Dank zij het idee achter het boek is het nog steeds heel leesbaar.

Aan een leraar n.l.t. en wiskunde leveren de boeken van Hans van Maanen brandstof, plezier, verrijkingsstof, inhoud, perspectief, motivatie, …



Isaac Isamov De komeet van Halley

Lezen Posted on Thu, November 08, 2018 20:15:09

Dit boek is in 1985 door Uitgeverij A.W. Bruna & Zonen uitgebracht, omdat het jaar erop voor het eerst in 76 jaar de beroemde komeet van Halley weer zal gaan verschijnen.


Het gaat na 1985 dus weer 76 jaar duren en millennials hebben dus best kans om de komeet in de jaren zestig van de eenentwintigste eeuw te mogen zien. Ik ben zelf van 1955 en echt voornemens om tot 2061 door te zetten, maar ik besef dat de kans klein is dat ik zijn terugkeer zal mee maken. De verschijning van 1985 zou ik hebben kunnen zien, als ik daarvoor een reis naar het zuidelijk halfrond had gemaakt, want in onze sferen was hij niet waarneembaar. Ook al zullen wij voorlopig niet veel van de komeet van Halley vernemen (hij maakt nu zo ongeveer zijn bochtje in de buurt van Uranus om weer naar ons terug te komen), het is voor millennials toch een leuk boek om te lezen. De komeet van Halley is de beroemdste komeet en in de jaren tachtig van de twintigste eeuw is Isaac Asimov ’s werelds beroemdste schrijver van sciencefiction verhalen en populairwetenschappelijke boeken.


Isaac Asimov is een interessante persoonlijkheid. Hij wordt uit Joodse ouders geboren op 2 januari 1920, als in Rusland de revolutie aan de gang is. Zijn eigen naam is Isaak Judovitsj Ozimov. In 1923 vluchten de Ozimovs naar de Verenigde Staten. Zij vestigen zich in New York en beginnen een snoepwinkel. Isaak ondervindt het pedagogische voordeel van vroeg hard moeten werken.


In de oorlogsjaren studeert Isaak Scheikunde en in 1948 verwerft hij de doctorstitel. Later wordt hij professor in de Scheikunde. Naast zijn wetenschappelijke carrière ontwikkelt hij zich tot misschien wel de meest productieve schrijver van zijn tijd. Als een natuurwetenschappelijk onderwerp in de publieke belangstelling staat levert Asimov vaak een bijdrage in de vorm van een boek en “De Komeet van Halley” is er daar één van.

De beschreven komeet is beroemd, omdat de grote astronoom Edmund Halley er in de 17eeeuw onderzoek naar doet. Hij bestudeert alle gegevens die er in vele eeuwen over zijn verzameld over kometen en vermoedt dat de komeet periodiek terugkeert. Je moet weten dat in zijn tijd mensen erg bijgelovig zijn en allerlei eigenschappen aan kometen toedichten.

De beroemdste verschijning is van 1066. De komeet duikt op in de tijd dat Willem van Normandië zijn invasie in Engeland voorbereidt. Willem kondigt meteen aan dat de komeet rampspoed voor Engeland voorspelt. De Normandische soldaten worden daar erg enthousiast en strijdlustig van. Koning Harald van Engeland heeft dan net een grote overwinning behaald op de Noormannen uit Noorwegen en hij weet niet hoe snel hij naar het Zuiden moet met zijn leger om de Noormannen uit Frankrijk het hoofd te bieden.


Het Engelse leger wordt verslagen en Harald vindt de dood. In de kathedraal van Bayeux in Frankrijk hangt een reusachtig geborduurd kleed met daarop een verslag van de gevechtshandelingen. Daarop is ook de komeet van Halley te zien om te illustreren hoe die heeft geholpen bij de overwinning.

Edmund Halley moet van dit alles niks hebben en besluit te gaan meten en rekenen en dat is een wijze beslissing geweest, waar wij allen een voorbeeld aan kunnen nemen. Hij is in staat een redelijk nauwkeurige beschrijving van de baan te geven en hij voorspelt dat de komeet rond kerstmis 1758 weer zal verschijnen. Tot zijn eigen verdriet beseft hij dat hij dat zelf niet meer zal meemaken, tenzij hij 102 jaar oud wordt.

Vanaf november 1758 richt de rijke Duitse boer en amateurastronoom Johann Georg Palitzsch iedere nacht zijn telescoop op de plek aan de hemel waar ongeveer de komeet kan worden verwacht. Zijn geduld wordt beloond als hij op 25 december de eerste is die de terugkeer registreert. Het is de wetenschappelijke sensatie van het jaar, want aangetoond is dat de wetenschap formidabele voorspellingen kan doen. Edmund Halley verwerft er eeuwige roem mee. De komeet van Halley staat te boek in het officiële kometen registratiesysteem als komeet nummer één.


Naast een interessante geschiedbeschrijving van de komeet van Halley vertelt het boek ook veel over andere kometen, de wetenschappelijke analyse van de samenstelling en over de rampen die ze kunnen veroorzaken.

Het boek leest prettig als een spannend boek. Ik heb het niet echt in één adem uitgelezen, maar wel in één avond. Een lange avond – dat wel, maar de avond is welbesteed.



Andrea Wulff: Venus achterna

Lezen Posted on Tue, November 06, 2018 09:49:01

De zoektocht naar de omvang van het heelal

Het boek vertelt het bijzondere verhaal van de eerste wereldwijde wetenschappelijke samenwerking, te midden van strijdende legers, orkanen, wetenschapsbeoefening en persoonlijke tragedie. Ook al is er voorlopig geen Venusovergang te zien, “Venus achterna” blijft het lezen waard om inzicht te krijgen in wetenschapsgeschiedenis.


In 1633 wordt voor het eerst een Venusovergang waargenomen en wel door de jonge briljante Britse astronoom Jeremiah Horrocks. Hij begrijpt dat de Venusovergang kan worden gebruikt om de afstand van de Aarde tot de Zon te berekenen, maar zijn waarnemingen zijn te onnauwkeurig om een goede schatting te geven. Hij weet ook dat hij een volgende Venusovergang niet meer zal mee maken, want de volgende zal nog meer dan een eeuw op zich laten wachten. Jaren later publiceert de beroemde wetenschapper Edmund Halley een artikel waarin hij de aard van de berekeningen uiteenzet. Hij schrijft dat artikel in zijn zestigste levensjaar en ook hij zal de volgende Venusovergang niet meer mee maken. Wel doet hij een oproep aan wetenschappers in alle landen om de handen ineen te slaan zodat op vele plaatsen op Aarde de Venusovergang zal kunnen worden geobserveerd.

Op 6 juni 1761 en 3 juni 1769 gaat de planeet Venus vanaf de Aarde gezien voor de Zon langs – telkens zes uur lang zichtbaar als een kleine zwarte stip tegen het brandende gezicht van de Zon. Venusovergangen komen altijd voor in paren – acht jaar uit elkaar – maar dan duurt het meer dan een eeuw voordat ze weer worden gezien. In de zestiger jaren van de achttiende eeuw raakt de wetenschappelijke wereld geëlektrificeerd door het besef dat nu het moment daar is om voor het eerst de afstand tussen de planeten in ons zonnestelsel te berekenen … met het “Plan Halley”!! Men weet dat vanaf vele plaatsen op de wereld nauwkeurige waarnemingen gedaan moeten worden om de gegevens te verzamelen voor de goniometrische berekeningen.

Een leger astronomen uit de Europese landen en de Noord-Amerikaanse koloniën worden uitgezonden over de hele wereld om het zeldzame hemelse verschijnsel te observeren. In een tijd waarin Europa en een groot deel van de rest van de wereld verscheurd worden door oorlog, overwint deze queeste politieke, geografische en intellectuele grenzen.

CHASING VENUS wordt verteld als een race over de hele wereld. Het is rijk aan verhalen vol obsessies, piraten, plagen, astronomen, politici en wetenschappers. Catharina de Grote treedt erin op en ook Benjamin Franklin. Het barst van de actie, prachtig detail en wetenschappelijke opwinding. De geest van de Verlichting is uit de fles en de zoektocht van de mens om de wereld te begrijpen ontplooit zich in volle heftigheid. Andrea Wulff heeft een prachtig verslag ervan geschreven.

Maar om welke berekening ging het nou eigenlijk helemaal?

Ik schets een vereenvoudiging van Halley’s plan. Het gaat er dus om hoe men uit de Venus overgang de afstand van de Aarde tot de Zon kan berekenen.

In 1619 heeft de Duitse astronoom Johannes Kepler al de relatieve afstanden van alle planeten tot de zon berekend. Met relatieve afstand wordt bedoeld: de afstand van de planeten tot de Zon in vergelijking met de afstand van de Aarde tot de Zon. Die laatste heet Astronomische Eenheid en is zó belangrijk dat hij zijn eigen afkorting heeft: AE. Als we de afstand van de Aarde tot de zon op 1 AE stellen, dan is de afstand van Venus tot de Zon 0,72 AE en van Mars tot de Zon 1,5 AE.

Helaas wist niemand hoeveel kilometer 1 AE was, waardoor ook de absolute afstand van alle andere planeten onbekend bleef.

In 1716 stelde de Engelse astronoom Edmond Halley een methode voor om de AE te berekenen met behulp van de Venus overgang.

Het onderliggende principe van Halley’s methode is de zogenaamde parallax. Dat is de schijnbare positieverandering als een object vanuit twee verschillende richtingen bekeken wordt. U kunt proefondervindelijk ervaren wat de parallax is door Uw arm voor U uit te strekken, Uw wijsvinger omhoog te houden en op enkele meters afstand plaats te nemen voor een sanseveria in de vensterbank of zoiets. Kijk in de richting van de sanseveria. Knijp eerst Uw linkeroog dicht en neem waar. Knijp vervolgens Uw rechteroog dicht en neem waar. U ziet de sanseveria op twee verschillende plaatsen tegen de achtergrond: dit heet parallax.

De parallax in de Astronomie.
Stelt U zich twee verschillende personen voor, Noor op het noordelijk halfrond en Suus op het zuidelijk halfrond. Zij bekijken beiden de Venus-overgang. Noor ziet Venus het onderste pad over de Zon volgen. Suus ziet Venus het bovenste pad over de Zon volgen.

De berekening
Gedurende de overgang van Venus zien twee waarnemers Venus op twee verschillende plaatsen op de Zon.


We noemen de hoek tussen de paden, gemeten vanaf de Aarde hoek E. Deze zeer kleine hoek was in de tijd van Halley niet te meten, maar daar had Halley een oplossing voor gevonden, die ik buiten beschouwing laat.

Dankzij de derde wet van Kepler weten we de relatieve afstanden van alle planeten tot de Zon. In dit gevallen gebruiken we alleen dat de afstand van Venus tot de Zon 0,72 AE is.

We zetten nu een troef in die we tot nu toe onder de tafel hebben gehouden. V en E zijn kleine hoekenen daarom geldt E= 0,72*V.


Behalve hoek V is het enige dat we nu nog hoeven te weten de afstand tussen de punten N en S. Noem deze afstand d(N, S)

Met een beetje derdeklasgoniometrie komen we er nu wel uit:


Herschrijven:


Voor kleine hoeken geldt:


dus:

V kun je berekenen met V=E/0,72 en voor E is een slimme methode bedacht. d(A, B) is op Aarde te bepalen. Hoe de gegevens in de achttiende eeuw met een zo groot mogelijke nauwkeurigheid werden bepaald vertelt het boek.

Het meest hartverwarmende aan dit boek vind ik wel dat honderden bèta wetenschappers uit heel veel landen als eersten in de geschiedenis een paneuropese … wat zeg ik … een intercontinentale moderne samenwerking tot stand brachten om een ideaal te verwezenlijken. Deze vorm van samenwerking, die tweehonderdvijftig jaar geleden plaats vond, heeft veel weg van moderne samenwerkingsverbanden zoals crowd-funding.

Het boek is ook in Nederland uitgegeven:
Andrea Wulf, Venus achterna. De zoektocht naar de omvang van het heelal
Athenaeum-Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2012
ISBN: 9789025369415



Getallen ontraadseld door Alex Bellos

Lezen Posted on Mon, November 05, 2018 10:37:43

“Alles wat je moet weten over wiskunde” heeft de uitgever op de voorkant van het boek laten zetten. Dat is jammer, want het is een leuk boek en de kreet “Alles wat je moet weten over …” maakt het zo plat. Op de achterkant wordt alles weer goed gemaakt met “Een feestmaal voor liefhebbers van wiskunde op alle niveaus” en daar kan ik mij echt in vinden.

“Getallen ontraadseld” heeft mij echt geïnspireerd.

Voordat ik dit boek las was bijvoorbeeld de figuur van Oliver Byrne mij totaal onbekend. Bellos vertelt: Hij was de schrijver van een onorthodoxe benadering van de Elementen van Euclides. Hij was zijn tijd ver vooruit. In plaats van lange bewijzen maakte hij tekeningen waarin hoeken, lijnen en vlakken aangegeven waren met rood, geel, blauw en zwart. Zijn “Elementen” werd in 1847 gepubliceerd. Het was een van de weinige Britse boeken die werd getoond op de Great Exhibition, de tentoonstelling in het Crystal Palace in Londen die in 1851 werd gehouden en die beschouwd wordt als de eerste wereldtentoonstelling. Het publiek zag niet wat er bijzonder aan was …. Byrne’s geïllustreerde bewijzen maakten Euclides intuïtiever, en zijn boek was de hedendaagse leerboeken in kleur ver vooruit. Ook esthetisch was het zijn tijd ver vooruit. De heldere primaire kleuren, de asymmetrische opmaak, de hoeken en abstracte vormen en het vele wit leken vooruit te lopen op de werken van veel 20eeeuwse schilders. Byrne’s boek lijkt een eerbetoon aan Piet Mondriaan, gepubliceerd 25 jaar voordat Mondriaan zelfs maar geboren was. Naar aanleiding van deze enthousiaste tekst ben ik wat meer over Byrne gaan opzoeken op Internet en ik heb er meteen maar een poster over gemaakt.

De poster is gratis te downloaden van mijn website

Ik ben er zo enthousiast over, omdat ik met de zesde klas van het VWO werk aan Euclidische bewijzen en ik merk dat mijn leerlingen eigenlijk weinig hebben aan de uitgeschreven bewijzen in de uitwerkingenbundel. Het is veel nuttiger om samen met hen een bewijs op te bouwen met behulp van kleurtjes en symbolen.

Het boek is via internet te koop

Een andere mooie passage gaat over de rekenliniaal en zijn dominantie in de rekencultuur in de afgelopen eeuwen. Ook naar aanleiding hiervan ben ik gaan zoeken op Internet en ik vond vele mooie sites.

In Amerika is er zelfs een digitaal Sliderule museum, maar ook in Nederland is er een actieve club liefhebbers. Enkele jaren geleden verzocht de sectie Biologie mij om “iets aan logaritmische schaalverdeling te doen” in 3VWO. Ik heb daarop een project geschreven dat nog steeds in de derde klas wordt gebruikt en waarin o.a. de logaritmische schaalverdeling van de rekenliniaal aan de orde komt. Aan het boek “Getallen ontraadseld” heb ik enkele passages over de geschiedenis van de rekenliniaal ontleend. O ja, ik kon het niet laten, ik heb er ook meteen maar weer een poster over gemaakt die, naar ik meen te weten, nog steeds aan de muur van het lokaal prijkt.
De poster is gratis te downloaden van mijn website

Halverwege het boek worden spelletjes en puzzels besproken die ik in de loop van de jaren al in een tiental andere boeken ben tegen gekomen. Dat zal de gemiddelde lezer van “Getallen ontraadseld” niet deren, want die leest niet zoveel boeken, vermoed ik.

Het hoofdstuk over toeval is zeer instructief en nuttig voor de praktijk van alle dag. Of U nou een verwoed gokker bent, of zo nu en dan een lot in de staatsloterij koopt of overweegt een verzekering af te sluiten voor Uw mobieltje, U hebt te maken met de wetten van de kansrekening. Las Vegas is uit de grond gestampt met de afdrachten van gokverslaafden. Loterijen maken altijd winst. Verzekeringsbedrijven kunnen mooie hoge kantoorgebouwen neerzetten met de opbrengsten van allerlei zinloze verzekeringen. Velen sluiten een verzekering af op goederen die niet-noodlottige bedragen hebben gekost met in het achterhoofd de gedachte “Als ik het niet verzeker wordt het misschien juist wel gestolen”. Wie een nieuwe fiets op het Rembrandtplein parkeert hoeft geen Nacht te Wachten om hem weer kwijt te zijn. De beste en goedkoopste fietsverzekering is een goede parkeerplaats. Wie het mobieltje opzichtig in de kontzak vervoert smeekt om aandacht van de zakkenroller. De beste en goedkoopste mobieltjesverzekering is goed opbergen.

Photo credit klik hier

“Getallen ontraadsel” biedt een overweldigende hoeveelheid materiaal die de stelling “Wiskunde is overal” van bladzijde naar bladzijde aantoont. Voor de wiskundeleraar is er veel inspirerends te vinden. Er staan bijvoorbeeld veel leuke anekdotes is, die tijdens de les ter afwisseling van de “rijtjessommen” verteld kunnen worden.



De speelse wiskunde van Dan Pedoe

Lezen Posted on Sat, November 03, 2018 11:24:08

Mijn eerste kennismaking met de wetenschappen vindt eind jaren zestig plaats door het lezen, en gedeeltelijk begrijpen, van pockets uit de onvolprezen Prisma/Aula reeks. De MAVO waar ik ben terecht gekomen door een mal advies van Het Hoofd der Lagere School, biedt mijn studeerhonger onvoldoende proviand en ik ben altijd naarstig op zoek naar denkwerk en informatie. Ik haast me te zeggen dat ik mijn medeleerlingen wel leuk vind, daar gaat het niet om. Het punt is dat er op die school geen leraren rondlopen die me stimuleren mezelf te ontwikkelen. Gewoon zwijgend de les volgen en alleen mijn mond open doen als men mij iets vraagt is wat daar van me verwacht wordt. Maaivelden zijn er niet voor niets en mijn hoofd moet daar vooral niet bovenuit. Gelukkig is er ook tijd buiten school en de kwartjes en dubbeltjes die van het zakgeld overblijven besteed ik aan de aankoop van prachtboeken, zo nu en dan.


In genoemde reeks is in de jaren zestig het interessante boek uitgegeven “De speelse wiskunde” van Dan Pedoe. Pedoe is een wereldburger die, nadat hij wiskunde studeert in Londen, Cambridge en Princeton, als hoogleraar les gaat geven in Singapore, Khartoum en Minnesota. In die tijd hele ondernemingen en dat Pedoe ze onderneemt zegt wat over zijn open mind, vermoed ik.

Hoofdstuk 1 heet “Wiskundige spelletjes”. Onder andere wordt het spel NIM besproken. NIM is een van de vele wiskundige spelletjes die mede charmant zijn door hun eenvoud. Je legt een hoopje lucifers neer en met inachtneming van enkele spelregels mogen de twee spelers om de beurt lucifers weg halen. Winnaar of verliezer is wie de laatste lucifer moet nemen – afhankelijk van wat je hebt afgesproken. Om de winnende strategie uit te kunnen uitleggen geeft Pedoe meteen maar een stuk getaltheorie ten beste. De strategie werkt namelijk met het tweetallig stelsel. “De speelse wiskunde” is niet het eerste boek waarin ik deze uitleg tegen kom.

Er zijn nog al wat boeken met eenvoudige toepassingen
van de wiskunde waarin de schrijvers het werk van collega’s aan het
overschrijven zijn

… Zo ook een andere toepassing van het binair stelsel: het ponskaartenprobleem.

Je maakt in een stapel van 32 ponskaarten een rijtje van vijf gaatjes. Sommige gaatjes knip je door zodat sleufjes ontstaan. Zo kun je de getallen 0 t/m 32 als binaire code weergeven. Vervolgens kun je deze kaarten gebruiken om logische problemen op te lossen. Als leraar heb ik dit spel wel gebruikt om mijn leerlingen uit te leggen wat het binaire stelsel is, maar ik noem het “De papieren computer”. De term ponskaartenprobleem sluit tegenwoordig immers niet meer aan bij het referentiekader van de leerlingen. Immers, wat is eigenlijk een ponskaart? In mijn tijd als wiskundestudent heb ik mijn programmaatjes nog bij het Academisch Computercentrum ACCU moeten aanbieden op ponskaarten, dus ik weet nog wat het is. Bovendien gaat veel communicatie met de giro in de jaren zestig via ponskaarten, als ik het me goed herinner. Hierop zijn letters en cijfers op kartonnen kaarten machine-leesbaar aangebracht door middel van gaatjes. In de foto hierboven ziet U ponskaarten die ten behoeve van het spel gehalveerd zijn.

In hoofdstuk 2 komt, naast veel andere dingen, “De proef van Buffon” ter sprake, dat een mooie statistische benadering geeft van het getal pi. In 1777 bedenkt de Fransman Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon, een manier om pi te benaderen met slechts een naald, potlood en papier. Dat doet hij als volgt: Hij tekent op het blad papier evenwijdige lijnen op gelijke afstand van elkaar. De afstand tussen de lijnen mag willekeurig zijn, maar het is handig om de afstand precies twee keer de lengte van een naald te kiezen die hij heeft klaar gelegd. Vervolgens laat Buffon de naald willekeurig op het blad vallen. Dan kan de naald snijdend zijn met een lijn van het blad of niet. Als je deze proef nu vele malen herhaalt en de verhouding bijhoudt tussen het aantal keer dat je de naald hebt geworpen en het aantal keer dat ze op een lijn is beland, gaat deze verhouding een benadering van π zijn.

Voor een middelbare scholier is hoofdstuk 3 “Waar is het einde?” een eyeopener omdat in gegaan wordt op het begrip “oneindig”. Het verschil tussen aftelbaar en niet aftelbaar wordt behandeld. Aangetoond wordt dat de verzameling van de rationale getallen aftelbaar is. Wanneer zijn twee oneindig grote verzamelingen even groot? Als je wiskunde wilt gaat studeren is het mooi als je van dit soort concepten al een beetje kaas gegeten hebt.

Dat geldt ook voor de inhoud van hoofdstuk 4. De verzamelingenleer wordt in de jaren zestig van de vorige eeuw ingevoerd in het voortgezet onderwijs maar dertig jaar later er weer uitgehaald. Bij een universitaire studie wiskunde is het belangrijk als je van de verzamelingenleer het een en ander af weet en Pedoe voorziet in de behoefte met een hele verhandeling.

De HAVO-leerling of VWO-leerling die behoefte heeft aan wat steviger kost dan in de schoolboeken staat kan zeker ook terecht in hoofdstuk 5 waar de topologie ter sprake komt. Daarin kan natuurlijk de Möbiusband niet ontbreken, een ruimtelijk figuur die lijkt op een driedimensionale acht en op het wiskundige teken voor oneindig. Je kan hem makkelijk zelf maken door een reep papier te knippen, één uiteinde een slag te draaien en de uiteindes vervolgens aan elkaar te plakken. Het is interessant onderzoeksmateriaal, want wat gebeurt er als je hem in de lengte doorknipt?

Axioma’s, vectoren, groepen … als je wiskunde wilt gaan studeren is het toch wel aardig als je er al eens iets over gehoord hebt en hoofdstuk 6 voorziet daarin.

Na de reeksen in hoofdstuk 7 wordt er in hoofdstuk 8 verder gegaan met logica, wat natuurlijk altijd een zeer aansprekend onderwerp is. In de afsluiter beschrijft Pedoe het “dagelijks” werk van wiskundigen.

Als het boek nieuw te krijgen zou zijn, zou ik het cadeau geven aan leerlingen die wiskunde willen gaan studeren. Van de wetenschappelijke pockets van Prisma / Aula zijn er heel veel heruitgegeven in de serie “van toen.nu” en via bol.com te koop. Jammer genoeg heb ik daar “De speelse wiskunde” van Dan Pedoe niet bij zien staan. Meer dan zestig jaar nadat het geschreven is, is het nog steeds een zeer leesbare inleiding op de hogere wiskunde. Wie het wil lezen is aangewezen op de tweedehandsmarkt.



Next »