Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

Binair taartverdelen

Binair Posted on Thu, March 21, 2019 08:49:44

In zevenen
Wilt U een mooie ronde taart met een zekere wiskundige precisie verdelen over 7 personen dan staan U verschillende technieken ter beschikking. In het midden een stip zetten en met een gradenboog 7 hoeken van 51 graden afpassen is praktisch het beste, denk ik. Nou ja, voor de wiskundige fijnproevers eigenlijk 3 x 52 + 4 x 51 graden, maar dat verschil merken de gasten in de praktijk toch niet.

Praktisch gezien amper uitvoerbaar, maar wiskundig veel interessanter is de volgende methode. Snij de taart eerst in 2 helften en snij die helften weer in 2 helften, zodat er 4 even grote taartpunten zijn. Halveer vervolgens weer die 4 stukken. De situatie is nu de volgende:


Zeven personen kunt U nu een 1/8 taartstuk geven en dan is er nog een stuk over. Dat stuk kunt U ook weer in 8 taartpunten verdelen en dan kunt U alle 7 personen een punt ter grootte van 1/64 taart toeschuiven. Dit proces kunt U niet tot in het oneindige herhalen, maar stel dat U dat zou kunnen, dan werden alle 7 personen voorzien van stukken taart die optellen tot de volgende reeks:

(1/8) + (1/8)^2 + (1/8)^3 + (1/8)^4 + (1/8)^5 + …

U ziet dat ik “tot de derde macht” schrijf als ^3, omdat dit tekstverwerkertje een hoge 3 niet aankan.

Omdat iedereen evenveel krijgt komt daar 1/7 uit, dus

1/7 = (1/8) + (1/8)^2 + (1/8)^3 + (1/8)^4 + (1/8)^5 + …

Dat je een breuk kunt schrijven als de oneindige som van een serie andere breuken, maakt mij op zich al enthousiast, maar er is meer.

Naar de binaire getallen is het namelijk nu nog maar een kleine stap.

Omdat (1/8) = (1/2)^3, geldt:

1/7 = (1/2)^3 + (1/2)^6 + (1/2)^9 + (1/2)^12 + (1/2)^15 + …

Omdat 1/2 = 0,1 (binair) is (1/2)^3 = 0,001 (binair); (1/2)^6 = 0,00001 (binair) enzovoorts, kunnen we de volgens reeks ontwikkelen:

1/7 = 0,001 + 0,000001 + 0,000000001 + 0,000000000001 + … (binair)

Dus:

1/7 = 0,001001001001001001 … (binair)

Lukt dit ook met 9 personen?
De taart zal eerst verdeeld moeten worden in 16 stukken. Alle negen krijgen een punt van (1/16) taart. Dan hebt U nog maar liefst 7 stukken over. Die snijdt U allemaal door de helft en van de 14 taartstukken die ontstaan rommelt U voor ieder van de 9 een taartpunt ter grootte van (1/32) taart op het bordje. Dan hebt U nog 5 stukken over. Die snijdt U allemaal door de helft en van de 10 taartpuntjes die ontstaan kunt U er 9 verdelen. Maar dan hebt U nog slechts (1/64) taart over.

“Eet die zelf maar op,” zullen Uw 9 vrienden zeggen, gul als ze zijn. “Voor de moeite.”

U z ult om de eerlijkheid dit 1/64-ste deel in 16 stukken moeten verdelen, waarna bovenstaande procedure weer kan worden gestart. Terwijl U ploetert wordt U verbijsterd gadegeslagen door Uw bezoek.

“Waar maakt die zich druk om,” voelt U hen denken.

Maar reeksontwikkeling is zo leuk en interessant. En U, een hogere van geest zijnde, zet door. Wat kan U die taart schelen, die is toch maar slecht voor de kiezen. De volgende reeksontwikkeling is het geestelijk resultaat:

(1/9)= (1/16) + (1/32) + (1/64) + (1/1024) + (1/2048) + (1/4096) + …

(1/9)= (1/2)^4 + (1/2)^5 + (1/2)^6 + (1/2)^10 + (1/2)^11 +

(1/2)^12 + …

= 0,0001 + 0,00001 + 0,000001 + 0,0000000001 + ….

(1/9) = 0,000111000111000111000111 … (binair)

Zo kan, met het taart-verdelen als model, de binaire notatie van een breuk ontwikkeld worden.



Binair achter de komma

Binair Posted on Sat, October 27, 2018 12:15:25

Dit is de zevende post in een serie over binair genoteerde getallen.

De binaire getallen kunnen ook “achter
de komma” worden ontwikkeld.
Eerst moeten we daarvoor eens kijken naar de
machten van 2.Bekend is:

Als U van boven naar onder kijkt in deze rij dan ziet U dat U het volgende getal
steeds krijgt door het vorige te delen door 2. Tegelijkertijd wordt aan de
rechterkant de exponent steeds eentje minder. Deze rij kan dan ook verder naar onder worden voortgezet.

Dit is een hulpje om de ontwikkeling van een binair getal achter de komma te begrijpen.
Het
binaire getal 1101,1111 (2) betekent:

Met
de rekenmachine kun je de waarde hiervan in het decimale stelsel uitrekenen:

8
+ 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 13,6875 (10)

Om
duidelijk te maken dat we in het binaire of in het tientallig stelsel werken
wordt meestal de volgende notatie gebruikt:
maar
de tekstverwerker van mijn blog kan dat niet aan, dus schrijf ik

1101,1111 (2) en 13,6875 (10) smiley

Onderzocht wordt nu hoe breuken van
binaire gehele getallen kunnen worden omgezet in binaire kommagetallen. Hoe
ging de decimale ontwikkeling ook al weer in zijn werk? Die van 5/11 kan worden
berekend door 5 te delen door 11.

De cijfers 4 en 5 blijken steeds terug
te komen. We spreken van een repeterende breuk. We noteren

Maar in het binaire stelsel kan deze ontwikkeling ook uitgevoerd worden!
Als we hetzelfde getal (5/11) binair willen ontwikkelen delen we 101 door 1011, want 5 (10) = 101 (2)
en 11 (10) = 1011 (2)
.

Als U dit leuk vindt, controleert U dan eens met
deze methode:

De onderste breekt af.

Het getal 5/11 omrekenen naar een binair
getal kan ook anders:

Het
te volgen procedé berust op het voortdurend verdubbelen van de teller en het
resultaat van die verdubbeling te vergelijken met de noemer.

Verdubbel de teller => blijf je ónder de noemer, noteer dan een 0, maar kom
je precies op of boven de noemer uit, trek dan de noemer ervan af en noteer een 1. Herhaal dit voortdurend.

Toegepast op 5/11 wordt dat:

=> Verdubbel de 5; resultaat 10, dus minder dan 11.

Noteer dus een 0.

Binaire weergave wordt: 0,0

=> Verdubbel de 10; resultaat 20, dus meer dan 11. Trek 11 van 20 af (wordt
dus 9)

Noteer dus een 1

Binaire weergave wordt: 0,01

=> Verdubbel de 9; resultaat 18, dus meer dan 11. Trek 11 af van 18 (wordt
dus 7)

Noteer weer een 1.

Binaire weergave wordt: 0,011

=> Verdubbel de 7; resultaat 14, dus meer dan 11. Trek 11 van 14 af (wordt
dus 3)

Noteer weer een 1.

Binaire weergave wordt: 0,0111

=> Verdubbel de 3; resultaat 6, dus minder dan 11.

Noteer een 0.

Binaire weergave wordt: 0,01110

=> Verdubbel de 6; resultaat 12, dus meer dan 11. Trek 11 van 12 af (wordt
1),

Noteer een 1

Binaire weergave wordt: 0,011101

=> Verdubbel de 1; resultaat 2, dus minder dan 11.

Noteer een 0.

Binaire weergave wordt: 0,0111010

En zo gaat U alsmaar door, maar U zult merken dat de cijfers
gaan repeteren.

Als U nu alle genoteerde cijfers achter elkaar zet, dan hebt U wat U zocht:

5/11
= 0,0111010001… (na deze 10 cijfers
gaat het repeteren).

Er wordt nu niet gesproken van decimaal, maar van
binaal

Deze methode werkt alleen als de noemer groter is
dan de teller. Is dit niet het geval, dan moeten eerst de helen worden
uitgehaald.

Als U het leuk vindt, kunt ook met deze methode
nogmaals de opgaven hierboven controleren.

Een overzicht, gevonden in Wikipedia:



x en : met 0 en 1

Binair Posted on Sun, October 21, 2018 21:08:27

De digitale snelweg wordt op gang gehouden door nullen en enen. Binnenin de computer komen in de basis alle taken die uitgevoerd worden neer op rekenen en vergelijken. Steeds is de processor druk bezig met op zeer hoge snelheid op te tellen, te vermenigvuldigen of te vergelijken. Ook voor de computervaardige reiziger op de digitale snelweg is het boeiend eens te onderzoeken hoe het binaire stelsel werkt. In deze en in mijn vorige posts heb ik geprobeerde aan te sluiten bij het rekenkundig referentiekader van de lezer.

Vermenigvuldigen

Eerst laat ik zien hoe het vermenigvuldigen ook al weer ging bij decimaal genoteerde getallen.

Bij het vermenigvuldigen met binaire getallen gebruiken we de volgende regels:

0 x 0 = 0
1 x 1 = 1
1 x 0 = 0
0 x 1 = 0

En dat geeft de volgende, zeer eenvoudige vermenigvuldiging.


Oefenen kan eventueel met het volgende rijtje:

11 x 111 = 10101
1011 x 1001 = 1100011
101 x 10101 = 1101001


Delen

Eerst twee voorbeelden van een staartdeling met decimaal genoteerde getallen


Een nu een aantal voorbeelden met binair genoteerde getallen




Wilt U dit oefenen controleert U met een staartdeling:

10011 : 101 = 11 rest 100
11110 : 100 = 111 rest 10
101010 : 11 = 1110



+ en – met 0 en 1

Binair Posted on Sat, October 20, 2018 12:05:44

De digitale snelweg wordt op gang gehouden door nullen en enen. Binnenin de computer komen in de basis alle taken die uitgevoerd worden neer op rekenen en vergelijken. Steeds is de processor druk bezig met op zeer hoge snelheid op te tellen, te vermenigvuldigen of te vergelijken. Ook voor de computervaardige reiziger op de digitale snelweg is het boeiend eens te onderzoeken hoe het binaire stelsel werkt. In deze post heb ik geprobeerde aan te sluiten bij het rekenkundig referentiekader van de lezer.

Optellen

In een aantal vorige posts heb ik verteld hoe binair genoteerde getallen kunnen worden afgeleid uit decimaal genoteerde getallen. Hieronder een overzicht.

Met behulp van bovenstaande tabel kunnen gemakkelijk de volgende opdrachtjes gecontroleerd worden.smiley

1 + 1 = 10
10 + 1 = 11
11 + 1 = 100
111 + 1 = 1000
10001 + 1 = 10010
11011 + 1 = 11100

Het optellen met grotere binaire genoteerde getallen gaat eigenlijk hetzelfde als decimaal genoteerde getallen.

Het optellen van 6472 en 3495 hebt U waarschijnlijk zó geleerd:

Hieronder ziet U voorgedaan hoe het in zijn werk gaat met binaire getallen.

Daarvoor gelden de regels:

0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
0 + 0 = 0
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

Bereken 1011 + 10


Zo berekent de computer het niet, hoor. Die heeft zijn eigen algoritmen. Ik heb een berekeningswijze gekozen die aansluit bij het referentiekader van veel Nederlanders. Als U het leuk vindt om te oefenen dan kunt U de volgende opdrachtjes controleren.smiley
Het is weer eens wat anders dan Sudoku’s oplossen.smiley

111 + 11 = 1010
101 + 1001 = 1110
1010 + 1101 = 10111
10101 + 1111 = 100100
1111 1111 + 1111 = 100001110

Aftrekken

Hoe werkte dit ook alweer met decimaal genoteerde getallen?


Hieronder is het voorgedaan hoe het in zijn werk gaat met binair genoteerde getallen.

Er gelden de volgende regels voor:

0 – 0 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
10 – 1 = 1


Een binary calculator van het net is makkelijker,
maar zelf doen is beter voor uw brein.smiley

Heeft u de smaak te pakken, controleert U dan eens de volgende sommetjes.smiley

111 – 1 = 110
100 – 1 = 11
100100 – 1111 = 10101
111000 – 111 = 110001
10101 – 1001 = 1100
10000000 – 111111 = 1000001



Logigram

Binair Posted on Thu, October 18, 2018 10:36:32

Na de intimiderende algebraïsche afsluiting van mijn vorige post is het wellicht tijd voor een iets speelsere benadering van de binaire notatie. Gelukkig zijn er verschillende voorhanden, in de vorm van logische puzzels. Stap voor stap kunnen deze worden opgelost met nullen en enen. Hierbij moet “0” worden opgevat als “niet waar” en “1” als “waar”.

Toen ik nog maar net wiskundeleraar was ontving ik van uitgeverij Keesing een enveloppe met daarin een Logigram-boekje en een brief waarin de redactrice mij aanspoorde in de wiskundeles toch eens wat meer aan Logigram te gaan doen. Ik heb haar aansporing mij ter harte genomen en in de loop der jaren zijn meerdere klassen in een gezellige sfeer met Logigram puzzel aan de slag gegaan. Zeer geschikt daarvoor waren laatste lessen voor de vakantie of decimeringslessen tijdens griepepidemieën, als slechts weinigen aanwezig waren en het tempo omlaag moest.

Uit de begeleidende brief citeer ik: Lang voordat wij er een puzzel voor de vrije tijd van maakten, bestonden er al logigram-achtige opgaven in het onderwijs. Ze werden gebruikt om het probleemoplossende vermogen en het logisch denken te ontwikkelen. Uit de tekst haalt de leerling de informatie, vertaalt deze in een schema en trekt conclusies. Daarbij wordt spelenderwijs geëlimineerd en het syllogisme toegepast. De hoop van de uitgever was dat Logigram de weg terug naar het onderwijs zou kunnen vinden.

Persoonlijk ken ik bovengenoemde toepassing eigenlijk niet en de gewenste weg terug heb ik ook niet mee gemaakt. Dat heeft gezellige puzzellessen niet in de weg gestaan.

Ik kende Logigram of Logikwiz al voordat ik het onderwijs inging. Ongeveer een vijfde deel van mijn militaire diensttijd bestond uit nachtdiensten en die gaan een stuk sneller als je iets leuks voorhanden hebt.

Bij een Logigram is het de bedoeling om aan de hand van een aantal aanwijzingen de enige juiste combinatie te vinden. Iedere puzzel bestaat uit een inleiding, een paar aanwijzingen, een diagram en meestal een oplossingsbalk. In het diagram kunnen de aanwijzingen worden weergegeven, bijvoorbeeld door een “1“ te plaatsen als bepaalde elementen bij elkaar horen en een “0“ als dat niet het geval is. Dit is het makkelijkst uit te leggen aan de hand van een voorbeeld.

Het voorbeeld heeft een van de leukste onderwerpen die ik kan bedenken:

VAKANTIE IN ZEELAND


1) Zes studenten gaan op vakantie naar Zeeland. Het zijn drie stellen.
2) De partners van eenzelfde stel zijn even oud.
3) De jongens zijn niet even oud
4) John is 24 jaar.
5) Annemiek en haar partner zijn 23 jaar.
6) Naomi hoefde niet lang na te denken toen Egbert haar vroeg mee te gaan naar Zeeland.

=> Hoe oud is iedereen en welke studenten vormen een stelletje?

We gebruiken aanwijzing 4:

John is 24 jaar. In de andere vakjes onder “24” en naast Koen en Egbert kan een 0 worden ingevuld. Zie hieronder.


De volgende aanwijzing is: Annemiek en haar partner zijn 23 jaar. Bij Annemiek en onder 23 een “1” plaatsen en bij de andere meisje onder 23 een 0. John is dus niet de partner van Annemiek. Rechts van John en onder Annemiek een 0. Dit alles is ingevuld in de volgende afbeelding.

Uit aanwijzing nr. 6 volgt dat Naomi en Egbert een stel zijn. Onder Naomi en rechts van Egbert komt een 1. De rest van de kolom opvullen met “0”.


Maar dan komt er rechts van John en onder Sandra een “1”.
Dan is Sandra dus even oud als John.
Sandra en Koen zijn geen stelletje, dus “0”.
Koen en Annemiek zijn dus een stelletje: “1”.


Dan is Koen dus ook 23, en Egbert en Naomi zijn 22.

Conclusie: Stelletjes zijn Koen en Annemiek (23 jaar), John en Sandra (24 jaar) en Egbert en Naomi (22 jaar).

Ook Puzzelsport brengt boekjes uit met Logikwiz. Zelf vind ik het altijd plezierig om op papier te puzzelen, maar online kan het ook op de mooie website logiquiz.nl. Klik hier



Conversie

Binair Posted on Wed, October 17, 2018 19:46:04

Een decimaal genoteerd getal omzetten naar een binair genoteerd getal (en andersom) heet converteren. U kunt als volgt te werk gaan.

1) De manier die U zelf ook had kunnen bedenken
Zorg dat U een lijstje hebt met machten van 2 bij de hand hebt, dus 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ….

Trek van een getal dat U wilt omzetten een zo groot mogelijke macht van 2 af. Schrijf een 1 op. Van de rest probeert U de volgende macht van 2 af te trekken. Lukt dat, dan schrijft U een 1 op. Lukt het niet, dan schrijft U een 0 op. Ga hiermee door tot U geen rest meer over hebt.


Controle:

1×128 + 0x64 + 0x32 + 0x16 + 1×8 + 1×4 + 0x2 + 1×1 = 141. Joepie!

Dus 141(10) = 10001101(2)

Let op: het gaat hier dus om het zelfde getal, genoteerd in verschillende stelsels. Eigenlijk moeten we dan ook niet spreken over binaire getallen, maar over binair genoteerde getallen. Uit slordigheid zal dat nog wel eens vergeten worden.

Wilt U oefenen? Converteer dan de volgende getallen uit het tientallig stelsel naar het tweetallig stelsel. Controleer Uw antwoorden met een automatische converter. Klik hier

a) 133

b) 256

c) 1000

2) De snellere manier
Zoals U wel gemerkt zult hebben, kan het omschrijven van het tientallig stelsel naar het tweetallig een heel gedoe zijn. Er is daarom een methode bedacht die sneller werkt.

Voorbeeld: Zet 87 om in een binair genoteerd getal.

Dit gaat als volgt:

Lees: 87 : 2 = 43, rest is 1; 43 : 2 = 21, rest is 1; 21 : 2 = 10, rest is 1; 10 : 2 = 5, rest is 0; 5 : 2 = 2, rest is 1; 2 : 2 = 1, rest is 0. De oplossing lees je van onder naar boven.

Het antwoord schrijft U als 1010111(2). (2) betekent dus: in het tweetallig stelsel.

Wilt U de bovenstaande methode oefenen? Converteer dan de volgende getallen uit het tientallig stelsel naar het tweetallig stelsel. Controleer Uw antwoorden met een automatische converter. Klik hier

a) 147

b) 2789

c) 488

Dat de tweede methode werkt kunt U nagaan met de volgende algebraïsche controle. Ik heb niet de illusie dat die controle verhelderend is. 🤪

87 = 2×43 + 1

= 2x(2×21 + 1) + 1

= 2x(2x(2×10 + 1) + 1) + 1

= 2x(2x(2x(2×5 + 0) + 1) + 1) + 1

= 2x(2x(2x(2x(2×2 + 1) + 0) + 1) + 1) + 1

= 2x(2x(2x(2x(2x(2×1 + 0) + 1) + 0) + 1) + 1) + 1=

= 1×2^6 + 0x2^5 + 1×2^4 + 0x2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0



Uit een ander vaatje

Binair Posted on Tue, October 16, 2018 11:07:44

Slechts weinig menen laten de digitale snelweg links liggen om door het leven te hobbelen over analoge parallelwegen. Maar deelnemen aan het moderne leven is slechts mogelijk middels mobiel, iPad of laptop. Dat gaat de een beter af dan de ander. Computervaardig ben je als je, werkend met een device, in zeer veel situaties het juiste knopje weet in te drukken. Als door het indrukken van een toets of door het bewegen van de muis of door het aanraken van een scherm in het algemeen gebeurt wat je wilt, voel je je meester over het apparaat. Meestal stopt hier de interesse. Toch is het boeiend eens te onderzoeken wat er wiskundig gezien in het apparaat plaatsvindt. Met het indrukken van een toets breng je in de computer een proces op gang dat zich aan je waarneming onttrekt. Binnenin de computer komen in de basis alle taken die uitgevoerd worden neer op rekenen en vergelijken. Steeds is de processor druk bezig met op zeer hoge snelheid op te tellen, te vermenigvuldigen of te vergelijken.

De digitale snelweg wordt op gang gehouden door nullen en enen. Eigenlijk zou iedereen dolenthousiast moeten zijn over deze binair genoteerde getallen, toch?

Binair genoteerde getallen bestonden allang voordat de computer was uitgevonden. Meer dan 4000 jaar geleden werden ze bedacht door de Chinese Prins-Filosoof Fuhy. Rond 1700 vond de Duitse filosoof, wetenschapper, politicus en bibliothecaris Leibniz ze nog een keer uit, om vervolgens, door contacten met een pater-jezuïet in China, er achter te komen dat Fuhy hem vóór was geweest. Leiniz’ roem werd er niet minder om. Behalve Leibniz waren er andere wiskundigen die stappen hebben gezet in het ontwikkelen van een efficiënter talstelsel. In de Engelse taal is daar een interessant boek over geschreven, als pdf gratis te downloaden. Klik hier.

Het uitleggen van het rekenen met nullen en enen wilde ik niet uitleggen via voorbeelden uit de computertechnologie. Ik wilde uit een ander vaatje tappen. In het predigitale tijdperk zijn leuke voorbeelden te vinden van rekenen met nullen en enen. Vandaag bespreek ik er een, die ik heb gevonden in het prachtboek “Getallen ontraadseld” van de Engelse publicist Alex Bellos. Waarschijnlijk heeft Bellos het weer van Keith Devlin die het noemt in zijn mooie boek uit 1984 “Micro Maths”. Wie weet van wie die het weer heeft …

Zonder dat ze het zich realiseerden kenden de Engelsen de binaire getallen al, namelijk in hun systeem voor inhoudsmaten. Langzaam gaat Engeland tegenwoordig over op het metrieke stelsel, maar er is veel tegenstand. Een merkwaardig argument om het oude systeem te behouden is dat de termen mooier klinken. Daar hebben ze in ieder geval gelijk in. Kijk maar eens naar de Engelse inhoudsmaten voor wijn, vergeleken met die van het metrieke stelsel (bier en tarwe schijnen andere inhoudsmaten te hebben):

Prachtige namen inderdaad. Een wiskundige ziet nog meer moois in dit rijtje. Meestal lijken Engelse maten en gewichten weinig onderlinge samenhang te vertonen, maar hier doemt toch, bij benadering, een regelmaat op! Kijk maar.

Vergelijkbaar met de werkwijze in mijn vorige post ga ik ook hiervan een prachttabel maken.
In de rechter kolom van de tabel zie je keurig de machten van 2 verschijnen. Vergelijkbaar met mijn eerste post over dit onderwerp kun je dus ook hiermee een binair stelsel in elkaar knutselen.

Wiskunde heeft een traditie van duizenden jaren. Uit de Wiskunde ontstaat pas in de laatste eeuwen de Informatica. Leibniz bedacht het tweetallig stelsel, Babbage kon met behulp daarvan een mechanische rekenmachine scheppen, Turing legde met zijn boek “On computable numbers” de basis van de ‘universele’ computer, die elk berekenbaar probleem kan uitrekenen. Op de hielen gezeten door de militair-politieke ontwikkelingen in de wereld bouwden wiskundigen in de tijd rond de tweede wereldoorlog de eerste werkende elektronische computer. Alle moderne devices werken nog steeds volgens het basisconcept van Turing. Dankzij de Informatica surfen we over het WWW, kunnen mariniers gevechtssituaties oefenen in games, betalen we contactloos in de winkel, onderzoeken we het Zonnestelsel met op afstand bestuurbare robots en kan een computer ons helpen een weersverwachting op te stellen.

De fundamenten van de Informatica hebben we aan de Wiskunde te danken. Zegt het voort!



Gewichtendoosje

Binair Posted on Mon, October 15, 2018 09:23:36

Appen met ons mobieltje, een spannende game spelen op de laptop of naar een mooie film kijken via internet zijn binnen een tijdspanne van enkele tientallen jaren tot onze dagelijkse werkelijkheid gaan behoren. Onze bezigheden met een of ander device lijken zo reëel dat je zou vergeten wat een computer eigenlijk aan het doen is om onze digitale activiteiten mogelijk te maken. De software waar wij mee werken is zo geavanceerd dat dat keurig voor ons verborgen wordt gehouden. Maar binnen in de computer komen alle taken die uitgevoerd worden uiteindelijk neer op rekenen en vergelijken. Of je nu werkt met Word of met Minecraft, of je nu een influencer volgt op Youtube of een post upload naar je eigen blog, de processor is druk bezig met op zeer hoge snelheid getallen op te tellen, te vermenigvuldigen of te vergelijken. Maar een computer rekent heel anders dan wij mensen. Waar wij in totaal tien cijfers kennen om alle denkbare getallen mee te maken (0, 1, 2, …, 9) heeft een computerchip slechts twee cijfers tot z’n beschikking: 0 en 1. Het wordt ook zó gezegd: wij rekenen zelf in het tientallig stelsel en de computer rekent in het tweetallig stelsel. Het tweetallig stelsel wordt ook wel het binair stelsel genoemd.

De reden waarom mensen met 10 cijfers rekenen, zou alles te maken hebben met het feit dat we tien vingers hebben. Daar valt nog wel wat op af te dingen. Veel volkeren hebben gerekend in het twaalftallig stelsel en dat zou dan komen doordat wij aan één hand twaalf vingerkootjes hebben en er zijn ook volkeren die rekenden in het twintigtallig stelsel, met hun tien vingers en tien tenen. Sommige mensen vinden een duim niet eens een vinger, dus er zou ook grond kunnen zijn geweest om te gaan rekenen in het achttallig stelsel. Afijn, je kunt millennia na het ontstaan van het rekenen daar van alles over verzinnen.

Terug naar de computer.

Voor de computer is rekenen in het tweetallig stelsel efficiënt: wanneer je ervoor zorgt dat je alle berekeningen kunt uitvoeren met alleen nullen en enen, is dat uiteindelijk relatief simpel in een chip te verwerken. Het werkt als áán en úít: 1 is wel spanning, 0 is geen spanning.

Rekenen met alleen nullen en enen lijkt op het eerste gezicht heel gek, maar dat valt eigenlijk wel mee. Ik heb een aantal, bijna stoffige, huis-tuin-en-keuken manieren bij elkaar gezocht om de werking van het binaire stelsel uit te leggen.

Gewichtendoosje; bron klik hier

Het gewichtendoosje op de foto hierboven stamt uit de tijd dat wegingen nog gebeurden met een balans. Zo’n doos zit knap in elkaar. Stel dat er in een gewichtendoos gewichtjes zaten van 1, 2, 5, 10, …. gram. 2 gram kwam twee keer voor, van de andere gewichtjes maar één. Met een klein aantal gewichtjes kunnen we ieder willekeurig gewicht van 1 tot …. gram samenstellen.

3 = 1 + 2
4 = 2 + 2
6 = 5 + 1
7 = 5 + 2
8 = 5 + 2 + 1

enzovoorts

Laten we nu eens gewichtjes nemen van 1, 2, 4, 8, 16 en 32 …. gram. Ieder gewichtje komt één keer voor. Hoe kan met de gewichtjes uit het doosje een gewicht samengesteld worden van 3 gram?
Nou, neem er één van 2 gram en één van 1 gram.
Van 5 gram? Eén van 4 en één van 1.
Van 7 gram? Één van 4, één van 2 en één van 1
Dit alles kan in een mooie tabel gezet worden en dat ziet er dan als volgt uit:

Het fabriceren van het tweetallig stelsel

In de zes rechterkolommen ziet u nieuwe getallen verschijnen met alleen 0 en 1. Omdat alleen 0 en 1 gebruikt worden spreken van het tweetallig stelsel. Zouden we 0, 1 en 2 gebruiken, dan spraken we van het drietallig stelsel. Als u dat leuk vindt kunt u zelf de tabel maken. Onder aan het blog staan de antwoorden.

We zeggen 23 in het tientallig stelsel, is 10111 in het tweetallig stelsel.
Kortweg: 23(10)= 10111(2).
Met 23(10) bedoelen we drieëntwintig genoteerd in het tientallig stelsel.
Met 10111(2) bedoelen we drieëntwintig genoteerd in het tweetallig stelsel.

Let op: het gaat hier dus om het zelfde getal, genoteerd in verschillende stelsels. Eigenlijk moeten we dan ook niet spreken over binaire getallen, maar over binair genoteerde getallen. Hieronder de ingevulde tabel.

Wilt u weten hoe het met de binaire getallen verder gaat?
Lees dan ook de volgende Mathemaat.