Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

Eén tegen 100 (2)

Spel en puzzel Posted on Thu, February 28, 2019 10:44:44

Eén tegen 100 (2)

Bramen zijn heerlijke vruchten, maar bij het plukken moet je erg oppassen dat je handen of je kleren niet aan de doornen beschadigen. Zo ongeveer is het ook met kansrekening. Het is een prachtig vak vol uitdagende puzzels, maar in menig kansrekeningprobleem zit een intellectuele boobytrap verborgen. Ik weet niet of het daardoor komt, maar feit is dat in de huidige eindexamenprogramma’s van HAVO en VWO de rol van Kansrekening sterk is terug gedrongen.

De afgelopen vijfentwintig jaar ben ik, onder andere in de eindexamens, vele juweeltjes van kansrekeningopdrachten tegengekomen. Het zou zonde zijn als daar niet al te veel meer mee gedaan werd en daarom bespreek ik dan maar een aantal ervan in aangepaste vorm in mijn blog. Mijn voorkeur gaat uit naar kansrekening toegepast op spel.

In een post op 4 januari ben ik begonnen met het bespreken van de kansrekening van de onvolprezen quiz Eén tegen 100. Hierin heb ik de berekeningsmethode geïntroduceerd, die ik nu verder zou willen uitwerken.

Stel dat de eerste vraag voor de kandidaat geen probleem is. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurigéén van de drie mogelijke antwoorden.

Die overige 52 tegenspelers gokken dus en daar komt de kansrekening om de hoek kijken. De kans dat een tegenspeler het antwoord goed gokt is natuurlijk 1/3 en de kans dat een tegenspeler het antwoord fout gokt is 2/3. De kans dat alle 52 gokkende tegenspelers het antwoord fout gokken is (2/3)^52. De uitkomst daarvan is slechts 0,000000000697 en dat is meteen de kans dat bij vraag 2 gestart wordt met 48 tegenspelers.

De kans dat één van de 52 tegenspelers goed gokt en de andere 51 fout is 52*(1/3)*(2/3)^51. (1/3) is de kans die hoort bij die ene goed gokkende tegenspeler en (2/3)^51 is de kans die hoort bij die 51 fout gokkende tegenspelers. Het getal 52 staat er ook bij, want de uitkomst (1/3)*(2/3)^51 kan 52 keer voorkomen. De uitkomst van deze mogelijkheid is 0,0000000181 en dat is meteen de kans dat het spel bij vraag 2 start met 49 tegenspelers. Dat is maar liefst een factor 26 meer!!!

Nu beginnen we echt. We gaan weer terug naar de situatie dat 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat twee van die 52 (mevrouw Jansen en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 50 fout gokken is (1/3)^2*(2/3)^50. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-Kok is dezelfde als Kok-Jansen dus er zijn 52*51/2 combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies twee van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51/2)*(1/3)^2*(2/3)^50

De leerlingen die het eindexamen maken, kunnen het antwoord (0,000000231) uitrekenen met een formule op de rekenmachine.

Opnieuw terug naar de situatie waarin 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat drie van die 52 (mevrouw Jansen, meneer de Vries en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 49 fout gokken is (1/3)^3*(2/3)^49. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51*50 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-deVries-Kok is op 6 ( = 3*2*1) manieren te maken. Dus er zijn (52*51*50)/(3*2*1) combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies drie van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51*50)/(3*2*1)*(1/3)^3*(2/3)^49. Met de rekenmachine kunnen we uitrekenen dat daar 0,00000193 uitkomt.

Gelukkig zit er op de Grafische Rekenmachine een optie om dit snel uit te rekenen. Ook met Excel kan het, met gebruikmaking van de optie binom.verd

Op het eindexamen wiskunde b1 (2008 II) wordt begonnen met de vraag:

De eerste vraag is voor de kandidaat geen probleem. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurig één van de drie mogelijkheden. Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.

Meer dan 65 betekent 66 of 67 of 68 of 69 of …… of 100. Steeds zijn er 48 zeker-weters. De vraag moet omgezet worden naar: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 17 goed-gokkers over zijn, immers 65 – 48 = 17.

Meer dan 17 betekent 18 of 19 of 20 of 21 of ….. of 52 goed-gokkers.

Ik heb dit voor u uitgerekend via Excel met de optie binom.verd.

Dit geeft in het hokjesscherm:

Op regel 36 staat de som van al deze uitkomsten en dat is meteen ook het antwoord op de eerste examenvraag: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.
Nogmaals: Eén tegen 100 is serieus amusement!!



Eén tegen 100

Spel en puzzel Posted on Fri, January 04, 2019 13:50:02

In de goede oude tijd, toen mijn kinderen nog thuis woonden, stond iedere week het onvolprezen programma “Eén tegen 100” aan. Vol vuur riep ik de, volgens mij, goede antwoorden. Een van mijn dochters zei me wel eens dat ik mij aan moest melden voor een uitzending, maar zo fanatiek was ik nou ook weer niet. Vanaf 2000 werd het spel uitgezonden door de publieke omroep, om in 2007 door RTL te worden overgenomen. Daarna kwam het terug bij de publiek omroep en zojuist lees ik dat het binnenkort weer naar RTL 4 verkast. Gelukkig verhuist Caroline Tensen mee.

De afgelopen jaren ontstond een discussie of het programma wel voldoende past bij de publieke omroep. Het programma zou “alleen maar” amusement zijn. Gek eigenlijk. Als een kennistoets vrolijk en spannend is, wordt het als “alleen maar” amusement gezien. Wetenschap mag niet leuk zijn of zo. Nou ja, zeg. In ieder geval is de quiz een serieuze inspiratiebron geweest voor een Wiskunde-A-dag op het VWO en voor een stevige kansrekeningopgave bij het HAVO examen wiskunde B1 (2008 tweede tijdvak). In deze opgave wordt gewerkt met een vereenvoudigde versie van het spel die ik hieronder zal bespreken.

Bij “Eén tegen 100” worden vragen gesteld, voorzien van steeds drie mogelijke antwoorden. Eén daarvan is het goede antwoord. Als de kandidaat dit goede antwoord kiest, gaat hij door naar de volgende vraag. In de zaal zitten 100 tegenspelers die de vragen ook beantwoorden. De tegenspelers die het goede antwoord hebben gegeven, gaan ook door naar de volgende vraag. De rest valt af.

Als de kandidaat een fout antwoord geeft, is het spel afgelopen.

Stel dat de eerste vraag voor de kandidaat geen probleem is. Wat is de kans dat het spel meteen uit is?

Dat betekent dat van de 100 tegenspelers niemand het goede antwoord weet, waardoor iedereen moet gokken en iedereen dan ook nog het foute antwoord geeft. De kans dat een tegenspeler het antwoord goed gokt is natuurlijk 1/3 en de kans dat een tegenspeler het antwoord fout gokt is 2/3. De kans dat alle 100 gokkende tegenspelers het antwoord fout gokken is (2/3)^100. De uitkomst daarvan is slechts 0,00000000000000000246.

Hoe groot is de kans dat één tegenspeler goed gokt en de andere tegenspelers het foute antwoord kiezen? De kans dat één van de 100 tegenspelers goed gokt en de andere 99 fout is 100*(1/3)*(2/3)^99. (1/3) is de kans die hoort bij die ene, het goede antwoord gokkende, tegenspeler en (2/3)^99 is de kans die hoort bij die 99 fout gokkende tegenspelers. Het getal 100 moet er ook bij, want de uitkomst (1/3)*(2/3)^99 kan 100 keer voorkomen. Immers iedere tegenspeler kan góed-gokken. De uitkomst van deze mogelijkheid is 0,000000000000000123 en dat is meteen de kans dat het spel bij vraag 2 verder gaat met 1 tegenspeler.

Nu beginnen we echt. We gaan weer terug naar de situatie dat niet één tegenspeler het antwoord op vraag 1 zeker weet. De kans dat twee van die 100 (mevrouw Jansen en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 98 fout gokken is (1/3)^2*(2/3)^98. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 100*99 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-Kok is dezelfde als Kok-Jansen dus er zijn 100*99/2 combinaties van duo’s goed-gokkers. De kans dat precies twee van de 52 tegenspelers goed gokken is dus
(100*99/2)*(1/3)^2*(2/3)^98 en dat is 0,00000000000000304.

Opnieuw terug naar de situatie waarin alle tegenspelers het antwoord op vraag 1 gokken. De kans dat drie van die 100 (mevrouw Jansen, meneer de Vries en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 97 fout gokken is (1/3)^3*(2/3)^97. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 100*99*98 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-deVries-Kok komt op 6 ( = 3*2*1) manieren voor. Dus er zijn (100*99*98)/(3*2*1) combinaties van tripels goed-gokkers. De kans dat precies drie van de 100 tegenspelers goed gokken is dus (100*99*98)/(3*2*1)*(1/3)^3*(2/3)^97. Met de rekenmachine kunnen we uitrekenen dat daar 0,0000000000000497 uitkomt.

Er komen steeds erg kleine getallen uit, en pas bij aantal goed-gokkers = 17 is het aantal nullen naar vier geslonken. De volgende tabel ontstaat:

In de tabel kun je zien dat de kans dat 40 tegenspelers verder mogen met vraag 2 0,03075091 is, ervan uitgaande dat alle tegenspelers gokken. Die veronderstelling is wat verre gaande en daarom zal ik mijn volgende post beschrijven wat verandert als er vanuit wordt gegaan dat ook een aantal tegenspelers het goed antwoord wéét. En daarmee zijn we dan eigenlijk pas echt bij de examenvraag aangeland.

Hieronder de grafiek die bij de tabel hoort. De verdeling is redelijk symmetrisch en lijkend op de normale verdeling. Het midden ligt bij 33 en dat is gelijk aan (1/3)*100, zoals het ook hoort te zijn.

Zo serieus kun je amusement nemen!



Eerlijk verdelen

Spel en puzzel Posted on Tue, November 13, 2018 21:54:49

Gebaseerd op een puzzel uit “Mathematics can be fun” van de Russische wetenschapspopularisator Yakov Perelman


Het probleem

Een bedrijf heeft 135 personeelsleden. Op een dag zijn er 4 jarig: Annet, Boris, Carola en Danny. Deze 4 besluiten gezamenlijk te trakteren op cake.
“Uit een cake gaan 15 plakjes, dus er moeten 9 cakes worden ingekocht,” rekent Annet de anderen voor.
Ze spreken een prijs af die de cake mag kosten: 4 euro per cake.
Annet: “Zal ik 3 cakes bij mijn bakker kopen?”
Boris: “Dan koop ik er 4 bij mijn bakker.”
Carola: “Ik haal bij mijn bakker 2 cakes.”
Danny: “Ik heb geen tijd om inkopen te doen. Ik betaal 9 euro. Vinden jullie het goed dat ik van deze 9 euro er 3 aan Annet geef, 4 aan Boris en 2 aan Carola?”
Annet: “Dat lijkt me eerlijk, want dat is volgens de zelfde verhouding als het aantal cakes dat wij kopen.”
Carola: “Nee het is niet eerlijk. Annet, Boris en ik dragen op deze manier niet evenveel euro bij als Danny.”
Carola heeft gelijk. Maar hoe kan die 9 euro dan wel eerlijk verdeeld worden?

Bespreking

De totale waarde van de cake is 36 euro. Dan zullen Annet, Boris en Carola ook 9 euro moeten bijdragen. Annet koopt 3 cakes en betaalt daarvoor 12 euro. Annet krijgt dus nog 3 euro. Boris koopt 4 cakes en betaalt daarvoor 16 euro. Boris krijgt dus nog 7 euro. Carola koopt 2 cakes en betaalt daarvoor 8 euro. Zij moet dus 1 euro bijdragen.

De verdeling is nu als volgt: Annet ontvangt 3 euro, Boris ontvangt 7 euro en Carola betaalt 1 euro. Als je het vergelijkt met het voorstel van Danny is dat best een verrassend antwoord.



Boris en de eekhoorn

Spel en puzzel Posted on Wed, October 31, 2018 19:49:06

Deze puzzels komen uit de ongeveer honderd jaar geleden gepubliceerde bundel “Wiskunde kan léuk zijn” van de Russische wiskunde- en wetenschapspopularisator Yakov Perelman. Ik heb de beschikking over een Engelse versie, waar ik het uit vertaald heb.

……..

Het regende. In ons vakantiehuis gingen we net aan tafel om te lunchen toen een van de gasten, Boris, ons vroeg of we wilden horen wat hij ‘s morgens had mee gemaakt.

Iedereen wilde dat wel horen en Boris begon.

1 Boris en de eekhoorn

“Ik heb verstoppertje gespeeld met een eekhoorn en dat was léuk!” zei Boris. “Weet je die kleine ronde bosschage met die eenzame berk in het midden? Op die boom probeerde een eekhoorn zich voor mij verborgen te houden. Dat lukte net niet helemaal. Toen ik uit het struikgewas tevoorschijn kwam, zag ik het snuitje. Twee heldere oogjes gluurden van achter de stam. Ik wilde het diertje zien, dus ik begon in een rondje langs de rand van de bosschage te lopen. Ik lette goed op om het beestje niet bang te maken. Ik deed vier rondjes, maar het kleine treiterkopje bleef van me weglopen. Vol argwaan keek hij me van achter de boom aan. Je moet zoiets ook maar eens proberen. Het lukt gewoon niet hem in te halen.”


“Maar je hebt net zelf gezegd dat je vier keer rond de boom cirkelde,” bemoeide zich een van de luisteraars er mee.
“Rond de boom, ja, maar niet rond de eekhoorn.”
“Maar de eekhoorn stond op de boom, nietwaar?”
“Zo was het ook.”
“Nou, dat betekent dat je ook rond de eekhoorn cirkelde.”
“Noem jij dat om de eekhoorn heen cirkelen als ik de rug van de eekhoorn niet gezien heb?”
“Wat heeft zijn rug met het geheel te maken? De eekhoorn stond op de boom in het midden van de bosschage en je cirkelde om de boom heen. Met andere woorden, je cirkelde om de eekhoorn heen.”
“O nee, dat heb ik niet gedaan. Laten we aannemen dat ik om je heen cirkel en dat je blijft draaien en me alleen je gezicht laat zien. Noem jij dat om je heen cirkelen?”
“Wat kun je het dan nog meer noemen?”
“Je bedoelt dat ik om je heen cirkel, hoewel ik nooit achter je sta en je rug nooit zie?”
“Vergeet de achterkant! Je cirkelt om me heen en dat is wat telt. Wat heeft de rug ermee te maken?”
“Wacht. Vertel me, wat is om me heen cirkelen? Zoals ik het begrijp, beweeg ik op zo’n manier dat ik het voorwerp dat ik van alle kanten kan zien. Heb ik gelijk, professor?” Hij wendde zich tot een oude man aan onze tafel.
“Je hele argumentatie gaat in wezen over een woord,” antwoordde de professor. “Wat je eerst moet doen is het eens worden over de definitie van ‘cirkelen’. Hoe begrijp je de woorden ‘cirkel rond een object’? Er zijn twee manieren om dat te begrijpen. Ten eerste beweegt het rond een object dat zich in het midden van een cirkel bevindt. Ten tweede, het beweegt rond een object op een zodanige manier dat het al zijn zijden ziet. Als je aandringt op de eerste betekenis, dan loop je vier keer rond de eekhoorn. Als je aan de tweede uitleg vasthoudt, dan heb je er helemaal niet omheen gelopen. Er is hier echt geen reden voor een argumentatie, dat wil zeggen, als je met z’n tweeën dezelfde taal spreekt en woorden op dezelfde manier begrijpt.”
“Oké, ik geef toe dat er twee betekenissen zijn. Maar welke is de juiste?”
“Dat is niet de manier om de vraag te stellen. Je kunt het over alles eens zijn. De vraag is, welke van de twee betekenissen wordt meer algemeen aanvaard? Naar mijn mening is het de eerste, en wel hierom. De Zon, zoals je weet, doet een volledige omwenteling in iets meer dan 25 dagen.”
“Draait de Zon?” riep iemand.
“Natuurlijk, net als de Aarde om haar as. Stelt u zich bijvoorbeeld eens voor dat het niet 25 dagen, maar 365 en een 1/4 dag, dus een heel jaar, zou duren om dat te doen. Als dit het geval was, zou de Aarde slechts één kant van de zon zien, dat wil zeggen, alleen haar ‘gezicht’. En toch, zou iemand durven beweren dat de Aarde niet om de zon draait?”
“Ja, nu is het duidelijk dat ik toch om de eekhoorn draaide.
“Ik heb een suggestie, kameraden!” riep een van het gezelschap. “Het regent nu, niemand gaat uit, dus laten we raadsels spelen. Het raadsel van de eekhoorn was een goed begin.”
“Ik stop onmiddellijk als ze iets te maken hebben met algebra of meetkunde,” zei een jonge vrouw.
“Ik ook”, sloot een andere vrouw zich aan.
“Nee, we moeten allemaal spelen, maar we beloven om ons te onthouden van algebraïsche formules of meetkunde, behalve misschien dan de meest elementaire. Eventuele bezwaren?”
“Geen” riepen de anderen in koor. “Laten we gaan beginnen.”
“Nog één ding. Laat de professor onze scheidsrechter zijn.”

2 Interessegroepen

“We hebben vijf extra interessegroepen op school,” begon een schooljongen. “Zij zijn monteurs, schrijnwerkers, fotografen, schakers en koor. De monteurs komen om de dag samen, de schrijnwerkers om de derde dag, de fotografen om de vierde dag, het schaakspel om de vijfde dag en het koor om de zesde dag. Deze vijf groepen ontmoetten elkaar voor het eerst op 1 januari en van dan af gaan de bijeenkomsten volgens schema. De vraag is: hoeveel keer zijn alle vijf groepen op dezelfde dag in het eerste kwartaal (1 januari niet meegerekend) samen gekomen?”

“Was het een schrikkeljaar?”
“Nee.”
“Met andere woorden, er waren 90 dagen in het eerste kwartaal.”
“Juist.”
“Laat me nog een vraag toevoegen,” brak de professor in. “Hoeveel dagen waren er dat geen van de groepen elkaar in het eerste kwartaal ontmoette?”
“Dus, er zit een addertje onder het gras! Er zal geen andere dag zijn waarop alle vijf groepen elkaar ontmoeten en er zal geen dag zijn dat er geen enkele groep bijeenkomt. Dat is duidelijk!”
“Waarom?”
“Weet niet. Maar ik heb het gevoel dat er een addertje onder het gras zit.”
“Kameraden,” zei de man die het spel had voorgesteld. “Wij zullen de resultaten nu niet onthullen. Integendeel: wij gaan meteen verder met het volgende raadsel.”

Einde citaat. Er komen nog meer raadsels, maar om het blog niet te lang te maken begin ik nu met het onthullen van de wiskunde achter de eerste twee raadsels. De dames uit het gezelschap die liever geen algebra en geen meetkunde wilden ervaren zijn er niet meer, dus wat dat betreft kan ik met wiskunde los gaan.

1 Uitwerking Boris en de eekhoorn

Laten we er van uitgaan dat de omtrek van de boom een perfecte cirkel is. We stellen de straal op 1. Boris loopt in een cirkelvormige beweging om de boom en hij houdt een afstand tot de boom van 5. Omdat de eekhoorn zich steeds diametraal tegenover Boris op de boom bevindt is de afstand tussen Boris en eekhoorn steeds 5 + 1 + 1 = 7. Omdat er een vaste afstand is beweegt Boris zich dus in een cirkelvormige beweging ten opzichte van de eekhoorn. De eekhoorn is een bewegend middelpunt van de cirkel waarop Boris zich beweegt. Boris houdt voortdurend dezelfde kromme lijn aan, maar bevindt zich hiermee op twee cirkels: één met straal 6 ten opzichte van het middelpunt van de boom en één met straal 7 en als bewegend middelpunt de eekhoorn.

De situatie geschetst met behulp van Geogebra

Met formules kan het ook worden opgelost (niveau 6VWO B)

De parametervergelijking van de eekhoorn (de oorsprong is het middelpunt van de boom):
De parametervergelijking van Boris:

Omdat de afstand van Boris tot de boom 5 is, is de afstand van Boris tot het middelpunt van de boom 6.

De parametervergelijking van de afstand van Boris tot de eekhoorn (De eekhoorn is nu tot de oorsprong van Boris’ universum benoemd):

Dit levert:
Dat is een parametervergelijking van een cirkel met straal 7.

2 Uitwerking Interessegroepen

De eerste vraag was redelijk makkelijk te beantwoorden: zoek het kleinste veelvoud van 2, 3, 4, 5 en 6 op. Dat is 60. Na zestig dagen komen ze allemaal tegelijk naar hun interessegroep. Dat is op de eenenzestigste dag, dus op 2 maart.

De vraag die de professor toevoegde was wél moeilijk.

Ik heb het uitgewerkt in Excel en je ziet dat door het goed rangschikken van de kolommen wel een mooie regelmaat verschijnen. 1 = ze zijn er; 0 = ze zijn er niet. Per maand zijn steeds de vijf groepen verticaal geplaatst. De tweede kolom van januari is de groep die om de andere dag bij elkaar komt etc. De achtste januari is de eerste dag dat alle interessegroepen er niet zijn. Daarna volgt de twaalfde januari. De tabel valt helaas wat klein uit. CTRL + maar een paar keer om te vergroten.



BINGO

Spel en puzzel Posted on Sun, October 07, 2018 12:36:53

Wiskunde is polygaam: met meer vakgebieden dan menigeen beseft heeft zij een relatie. Sterker nog, wiskunde heeft met iederéén een relatie, of u dat nou wilt of niet. Denkt u daar eens aan als u een avondje zit te … uh … bingoën.

Het “2017 wiskunde a havo examen oude stijl” eindigt met een opgave over dit mooie spel. Kennelijk is de examencommissie er van uit gegaan dat BINGO goed aansluit bij de belevingswereld van zestien- en zeventienjarigen. Misschien is dat wel zo, maar ik heb zo mijn twijfels. Jongere kinderen vinden het nog wel leuk. Ooit verrijkten wij onze spelletjeskast vol goede herinneringen met een mini BINGO machine. Van menig verjaardagpartijtje was BINGO een rumoerig onderdeel. Ik weet dat het spel er nog staat. Door de examenopgave BINGO was ik even à la recherche du temps perdu.
Het is er nog! – foto Hans Schipper – 20181007

Bij BINGO hebben alle spelers een BINGO kaart. Deze kaarten zijn er in vele soorten; hier gebruiken we deze kaartsoort:

In elke kolom staat een aantal getallen in een willekeurige volgorde, waarbij geen enkel getal meer dan één keer voorkomt. Verder geldt het volgende:

· onder de B staan 5 getallen uit 1 t/m 15;

· onder de I staan 5 getallen uit 16 t/m 30;

· onder de N staan 4 getallen uit 31 t/m 45 (en een leeg vakje in het midden);

· onder de G staan 5 getallen uit 46 t/m 60;

· onder de O staan 5 getallen uit 61 t/m 75.

In figuur 1 staat onder de Bde kolom 1-9-6-13-7. Andere kolommogelijkheden zijn bijvoorbeeld: 4-1-12-7-3 of 13-7-6-1-9. Een andere volgorde van de getallen betekent dus een andere kolommogelijkheid.

Er is een onvoorstelbaar groot aantal BINGO kaarten te fabriceren. Dit aantal komt later nog terug. Om een indruk te krijgen van de huiveringwekkend grote aantallen berekenen we eerst hoeveel verschillende kolommen onder de B mogelijk zijn. Voor het bovenste vakje kunnen we kiezen uit 15 getallen. Stel dat we daar een 9 voor hebben gekozen, dan hebben voor het vakje eronder nog 14 mogelijkheden over. Uit die 14 proppen we er eentje in dat vakje en dan hebben we nog 13 keuzemogelijkheden over voor het vakje daar weer onder. Zo doorgaand komen we uit op 15 x 14 x 13 x 12 x 11 = 360360 mogelijkheden.
De tweede, vierde en vijfde kolom bieden ook 360360 mogelijkheden. De middelste slechts 15 x 14 x 13 x 12 = 32760. Het totaal komt uit op 32760 x 360360 x 360360 x 360360 x 360360 = 5524464741 … en nog een heleboel. In totaal 27 cijfers.

Bij BINGO wordt door een spelleider steeds een willekeurig balletje getrokken uit een bak die bij aanvang van het spel 75 balletjes bevat, genummerd van 1 tot en met 75. De spelleider leest steeds het getal op het getrokken balletje hardop voor en legt het balletje weg.

Als het voorgelezen getal op zijn BINGO kaart voorkomt, zet de speler een kruis door dat getal. Iemand heeft BINGO als alle getallen op zijn BINGO kaart zijn door gekruist.

Wiskundigen hebben voor een willekeurige BINGO kaart bij dit spel een aantal kansformules opgesteld, waaronder:

Voor veel kansvraagstukken wordt ook de volgende formule gebruikt:

In de eerste formule ziet u onder de breukstreep 75 boven 24 staan met haakjes er om heen. Men bedoelt: totaal zijn er 75 getallen waaruit gekozen kan worden en daar kiest men er 24 uit. Dit spreekt men uit als 75 boven 24 en dat kan de rekenmachine berekenen. Dat levert een duizelingwekkend getal met twintig cijfers op:
2577869958 ….. en nog een heleboel.

Omdat dit onoverzichtelijk is schrijft men het wel als 2,578 x 10^19. 10^19 staat voor “een één met 19 nullen”.

U weet wellicht dat er vaak heel veel trekkingen nodig zijn voordat uw kaart vol is. De kans dat u pas bij de laatste trekking BINGO heeft, is zelfs behoorlijk groot. Deze kans kan met de tweede formule worden berekend.

Invoeren in de rekenmachine geeft 0,32. Dus er is een kans van 32 % dat je pas bij de laatste trekking BINGO mag roepen, als je daar dan nog zin in hebt.

Omdat we toch leuk bezig zijn kunnen we en passant ook wel even uitrekenen hoe groot de kans is dat u na 65 trekkingen nog steeds geen BINGO heeft. Daar moet de eerste formule voor gebruikt worden, maar dat vermoedde u al.

Voeren wij dit in de rekenmachine in, dan komt als antwoord 0,015. De kans dat u na 65 trekkingen nog steeds geen BINGO heeft is daardoor 1 – 0,015 = 0,985 of te wel meer dan 98 %. U moet maar zo denken: het spel moet ook niet te snel uit zijn.



Antwoorden op de Dierendagpuzzels

Spel en puzzel Posted on Fri, October 05, 2018 19:45:02


Hoenen, koeien en paarden

k = aantal kippen; r = aantal runderen en p = aantal paarden.

Je hebt dan twee vergelijkingen:
k + r + p = 100 (totaal 100 dieren)
0,25k + r + 15p = 100 (totaal 100 euro)

We trekken de vergelijkingen van elkaar af: 0,75k – 14p = 0

Dit maken we 4 keer zo groot: 3k – 56p = 0
Hieruit volgt: 3k = 56p
k, r en p zijn gehele getallen, dus zijn er niet veel mogelijkheden meer.

Aan de linkerkant staat een 3, dus moet aan de rechterkant p deelbaar zijn door 3.

Aan de rechterkant staat 56, dus moet aan de linkerkant k deelbaar zijn door 56.
De enige mogelijkheid is: p=3, k=56 en dus r=41.

Antwoord: 56 kippen, 41 runderen en 3 paarden

Ezel en Muilezel

Stel x is het aantal zakken op Muilezel en y is het aantal zakken op Ezel

I) x+1=2⋅(y−1) II) x−1=y+1

I) x vrijmaken x+1=2⋅y−2 => x=2⋅y−3

Dit laatste in II) invullen 2⋅y−3−1=y+1
2⋅y−4=y+1
y−4=1
y=5

y=5 invullen in I) of II)
x+1=2⋅(5−1)
x+1=8
x=7

Ezel zeult met 7 zakken, Muilezel met 5.

Controle:
Als Muilezel er één aan Ezel geeft, dan draagt Ezel er twee keer zoveel.
Als Ezel er één aan Muilezel geeft, dan dragen ze evenveel.

Hondenkoekjes

Gewoon proberen. Goed voor je rekenvaardigheid!

4 dozen van 17 koekjes en 2 dozen van 16 koekjes.

De bijen van Steketee

1/5 x + 1/3 x + 2/5 x + 1 = x

3/15 x + 5/15 x + 6/15 x + 1 = x

14/15 x + 1 = x

1/15 x = 1

x = 15

Er vliegen 15 bijen uit.



4 oktober Dierendag

Spel en puzzel Posted on Thu, October 04, 2018 09:46:35

4 oktober Dierendag

Het beschavingspeil van een volk kan mede worden afgelezen aan de manier waarop het met de dieren omgaat. Ook al is het vandaag dierendag, het lijden van veel dieren in ons land zal er niet minder om zijn. Op mijn bescheiden wijze schenk ik vandaag via deze blog aandacht aan het lot der dieren. In de rijke cultuur van de wiskunde-puzzels is er al eeuwen lang plaats voor dierenpuzzels. Het grappige is dat je dezelfde puzzels steeds weer opnieuw in boeken en boekjes ziet terug komen – gewoon gepikt dus. Even zo vrolijk staat er dan voorin het puzzelboek “Niets van deze uitgave mag worden vermenigvuldigd middels … enzovoorts”. Afijn, ik vermenigvuldig hieronder een aantal puzzels die ik al in vele boeken terug heb zien komen. Het is gewoon na-apen van na-apen van na-apen, om het maar eens in dierentermen te zeggen.

Toen ik meer dan een half mensenleven geleden stage liep, schoof een leerling die al eens had opgemerkt dat hij stagiaires eigenlijk maar helemaal niks vond, mij een briefje onder de neus met daarop een dierenpuzzel. Hij leek te veronderstellen dat hij mij helemaal klem had, want hij zei glunderend: “Zo, U bent even bezig.”

Van een stukje papier, dat van de rand van een schrift was gescheurd, las ik: Je hebt 100 gulden en hiervoor wil je precies 100 dieren kopen. Een kip kost een kwartje, voor een rund moet een gulden worden betaald en aan een paard ben je 15 gulden kwijt. Hoeveel kippen, hoeveel runderen en hoeveel paarden kun je kopen?
Gelukkig voor mij en helaas voor de leerling kende ik de puzzel en ik steeg een klein beetje in zijn achting.

Wilt u weten hoe de uitwerking gaat? Lees dan ook morgen weer De Mathemaat.
Een jong rund, gelukkig in de wei. Deze fotografeerde ik vanaf een pad, dat buiten langs de afrastering leidde. Na de fotosessie wandelde hij geruime tijd met mij op – foto Hans Schipper – 20181003

Uit een stapel oud papier van enkele kubieke meters op een school waar ik ooit werkte trok ik jaren geleden een geel gekaft boek getiteld “Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen” en daarin vond ik dit “lustige Tierrätsel”, dat ik met enig geduld en inzet heb weten te vertalen.

Ezel en Muilezel strompelen voort, volgeladen met zakken.
Onder de druk van de lading kreunt en zucht Ezel zwaar.
Muilezel merkt het op en zegt tegen zijn lijdende metgezel:
“Dude, zeg er eens, wat huil en zeur je als een kindje?
Als je mij één zak geeft, draag ik er twee keer zo veel als jij.
Als je er één van mij neemt, hebben we allebei hetzelfde.
Mathemaat, expert, zeg maar hoeveel ze bij zich droegen

Wilt u weten hoe de uitwerking gaat? Lees dan ook morgen weer De Mathemaat.

Zo erg was het nou ook weer niet gesteld met de ezel in de puzzel

Henry Ernest Dudeney is de verzinner van de volgende twee puzzels.

Hondenkoekjes

Een verkoper verpakt zijn hondenkoekjes (alle van één kwaliteit) in dozen met respectievelijk 16, 17, 23, 24, 39 en 40 koekjes. Hij zal ze op geen enkele andere manier verkopen of een doos openbreken. Hij heeft van iedere verpakking meerdere dozen.

Een klant vraagt om 100 koekjes. Hoe moet de verkoper de bestelling uitvoeren?

Wilt u weten hoe de uitwerking gaat? Lees dan ook morgen weer De Mathemaat.

De bijen van Steketee

Imker Steketee ’s bijen hebben zo hun voorkeuren. Een vijfde deel van het bijenvolk vliegt naar rozen, een derde deel naar klimopbloemen en twee vijfde deel is dol op zonnebloemen. Eentje kan niet kiezen en zoemt maar een beetje in het rond. Wat is het totaal aantal bijen dat uitvliegt?

Wilt u weten hoe de uitwerking gaat? Lees dan ook morgen weer De Mathemaat.



Het Meetkundekwartet

Spel en puzzel Posted on Mon, September 24, 2018 10:54:30

Tien jaar geleden heb ik er menig winteravond aan besteed: de ontwikkeling van een meetkundekwartet. Iedere avond weer met het grootste plezier. Voor mij was wiskundeles geven meer dan alleen maar werken uit een boek. Leerlingen bloeien op als ze wat te dóen hebben.

Dan bedoel ik: iets doen in de vorm van knutselen en, vooral, spelen. Het kost lestijd, maar de gezelligheid die het oplevert betaalt zich terug in welwillendheid tegenover jou en je vak.

Nu ik met pensioen ben, heb ik het kwartet overgedragen aan een gelijkgestemde collega. Voor collega’s in het land die het ook eens willen uitproberen is het te downloaden van mijn website www.hansschipper.nl, klik op Posters en spellen.

Om redenen die ik niet meer kan achterhalen heb ik het indertijd meetkundekwartet 1 genoemd. Wellicht was ik zo enthousiast bezig dat ik er nog een tweede bij wilde maken en is de geestdrift later ingezakt.

Er zit een spelbeschrijving bij, die ik hier ook maar even behandel.

Titel: Meetkundekwartet 1
Ontwerp: Hans Schipper
Afbeeldingen: Hans Schipper
Aantal spelers in een klassensituatie: drie of vier spelers Benodigd aantal stokken voor een klas: acht

Leeftijd: 12 of 13 jaar
Speelduur: 25 minuten
Opmerkingen: Het spel bij voorkeur meerdere keren laten spelen

Deze opmerking heb ik toegevoegd, omdat ik het meetkundekwartet een ludieke manier vind om kennis te maken met meetkunde. Het zou bijvoorbeeld in een van de eerste weken van de brugklas gespeeld kunnen worden. Herhaling is dan nuttig om alle meetkunde een keer voorbij te laten gaan.
Spelmateriaal: 16 kwartetten van vier kaarten; een kwartet is een verzameling van vier bij elkaar horende kaarten. 9 kwartetten is genoeg voor een spel. Hiervan dient men goede nota te nemen! In de gloed van mijn werkzaamheden wist ik van geen ophouden: het boek kaarten bestond uiteindelijk uit 16 kwartetten. Toen mijn leerlingen het de eerste keer gingen spelen steeg na een kwartier het geluidniveau behoorlijk, hetgeen altijd een indicatie is voor onderwijskundige panne. Navraag leverde op dat ze het spel simpelweg niet uitkregen: er waren te veel kwartetten. Vandaar dat het beste is om aan het eind van de les de leerlingen te vragen het boek even te ordenen, zodat de volgende keer de klas een keuze kan maken van 9 kwartetten.

Spelbeschrijving

Voorbereiding:

🙂Alle spelers krijgen acht kaarten. Ieder neemt de kaarten in de

hand, maar laat deze niet aan de andere spelers zien.

🙂De kaarten die na het delen over zijn, worden op een blinde stapel gelegd.

Start:

🙂Wie met de ontvangen kaarten al een kwartet kan maken, legt dit open op tafel.
🙂De jongste heeft de eerste spelbeurt. Bij een eventueel tweede potje begint de op één na jongste, enzovoorts.

🙂Er wordt gespeeld met de wijzers van de klok mee.

Een spelbeurt:

🙂Vraag aan één van de andere spelers een kaart die je niet hebt. Dit moet dan wel een kaart zijn van een kwartet waarvan je zelf minimaal 1 kaart in je hand hebt. Noem de naam van het kwartet en vraag naar de kaart uit dit kwartet die je wilt hebben. Als de speler die kaart heeft, dan moet hij deze aan je afgeven en mag je doorgaan met kaarten vragen. Dit hoeft overigens niet aan dezelfde speler. Als je een setje van vier kaarten hebt, roep je ‘kwartet!’ en leg je de vier bij elkaar horende kaarten voor je neer op tafel.

🙂Heeft de speler de gevraagde kaart echter niet, dan is je beurt voorbij en mag de speler aan wie je het laatst een kaart vroeg de volgende vraag stellen. Bovendien krijg je een kaart van de blinde stapel als afsluiting van je beurt.

Het einde:

🙂Als alle spelers hun kaarten kwijt zijn, is het spel afgelopen.

🙂De speler met de meeste kwartetten heeft gewonnen.

Het afdrukken kun je het beste in een copyshop op stevig papier laten doen. Meestal willen ze het ook wel voor je snijden. Dat is niet goedkoop, maar je hebt er jaren plezier van. De ronde hoeken, om het maar eens wiskundig onverantwoord te zeggen, moet je er zelf aan maken. De meeste copyshops hebben geen z.g. rondhoekapparaat. (Mooi woord, hè.) Een drukkerij die vaak drukwerk voor de school doet wil dat wellicht even voor je doen. Maar ook niet alle drukkerijen hebben een rondhoekapparaat. Misschien is er een welwillende T.O.A. die een manier verzint om ronde hoeken aan de kaarten te maken.
Maar je kunt het spel natuurlijk ook als Memory-spel gebruiken, dan kan het op gewoon papier worden afgedrukt.