Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

Een Calatravawandeling door Haarlemmermeer

Bouwen Posted on Tue, February 12, 2019 13:18:02

De aanleiding

Geïnspireerd door het prachtige boek “De nieuwe Mathematica van de Hedendaagse Architectuur” van Jane en Mark Burry heb ik op een winderige zaterdag 9 februari 2019 een Calatrava wandeling ondernomen door Haarlemmermeer. In genoemd boek wordt aandacht gevraagd voor een andere manier van gebruik maken van de wiskunde bij het ontwerpen van gebouwen. De inleiding is geschreven door Brett Steele van de Architectural Association in Londen en ik ben zo vrij stukken hieruit te citeren:

Jan en Mark Burry geven een fantastisch beeld van het fascinerende spel dat de hedendaagse architectuur en de wiskunde met elkaar spelen. (…) Architecten hebben altijd wiskunde nodig gehad, in ieder geval vanaf het moment dat een van hen met een stok een rechte hoek in het zand tekende en besefte dat getallen een goed hulpmiddel waren om het architectonische idee aan iemand anders over te dragen. (…) Dat de wiskunde sterk verbonden is met de architectuur is voor bouwkundigen vanouds een vanzelfsprekend gegeven. De theoretische grondslag hiervoor heeft Vitruvius zo’n tweeduizend jaar geleden gelegd in zijn klassiek tien boeken “Over de bouwkunst”. (…) Zeggen dat wiskunde een integraal onderdeel van de architectuur vormt, is hetzelfde als zeggen dat getallen handig zijn bij het tellen. (…)

Wat is er dan zo bijzonder aan de huidige dialoog tussen architectuur en mathematica? (…) De kracht en de complexiteit van de mathematische processen in de architectuur zijn groter geworden en tegelijkertijd is de pure wiskunde binnen de architectonische taal en het architectuurdebat op haar retour. Architecten spreken niet langer de taal van hele getallen of voorspelbare geometrische vormen, net zomin als van tekeningen met vaste dimensies of meetbare schalen. Dit is uiteraard te danken aan een andere hedendaagse revolutie: Het feit dat architecten op hun bureaus vrijwel universeel gebruikmaken van digitale ontwerpplatforms, die niet alleen de basis voor de architectonische praktijk zijn geworden, maar ook het communicatiemiddel bij uitstek om ideeën te ontwikkelen en te verspreiden.

Als we het hebben over het intensieve gebruik van computers en informatiesystemen door ontwerpbureaus, zien we vaak over het hoofd dat hierbij wiskundige processen alomtegenwoordig zijn. Deze blindheid is deels te verklaren doordat programma’s zo ontworpen zijn dat ze proberen hun geavanceerde wiskundige achtergrond achter hun uiterlijk te verbergen. Denk bijvoorbeeld eens aan de meest basale of traditionele architectonische ontwerpactiviteiten, zoals het tekenen van een lijn. Deze activiteit die met simpele muisklikken en toetsaanslagen wordt uitgevoerd vereist binnen een digitale ontwerpomgeving een verbijsterende reeks met onvoorstelbare snelheid uitgevoerde wiskundige operaties van verbluffende complexiteit.

En dit is het moment waarop de dingen opeens heel interessant zijn geworden met betrekking tot de huidige wederopleving van de relatie tussen architectuur en wiskunde. Doordat de wiskunde verstopt zit in computersoftware, is er een lacune ontstaan in de architectentaal. Die wordt nu opgevuld door de wiskunde juist heel erg zichtbaar te maken in het ontwerp. Het boek “De Nieuwe Mathematica van de Hedendaagse Architectuur” staat vol met prachtige voorbeelden hiervan. Lezen dat boek!

Gevierd en berucht
De bouw van drie, door de beroemde en verguisde Spaanse architect Santiago Calatrava Valls ontworpen bruggen, zal niet onopgemerkt aan de Nederlandse krantenlezer en televisiekijker voorbij gegaan zijn. Met de uitvoering ging het zoals met veel van zijn bouwwerken. Wikipedia zegt over hem: Hij creëert veel vernieuwende werken met oog voor zowel de vormgeving als de structuur. Aan de andere kant krijgt hij veel kritiek wegens ontsporende budgetten en bouwtermijnen alsook een lage functionaliteit en lage klantentevredenheid.

Wie wil kan op internet veel boze artikelen over hem vinden. Die gaan over kosten en slordige afwerking. Ik vind zijn werken vooral erg mooi en wiskundig interessant. Het is jammer dat de wiskundige en esthetische kant van zijn werk zo door de negatieve kritiek, die er natuurlijk ook mag zijn, overschaduwd wordt. Ik raad het een ieder aan mijn wandeling langs de Hoofdvaart van Nieuw Vennep naar Hoofddorp een keer te doen en rustig stil te staan bij elk van de drie bruggen om van de schoonheid te genieten.

Hoe heb ik het aangepakt
Omdat Haarlemmermeer een terra incognita voor mij was, heb ik de locaties van de drie bruggen eerst maar eens in Google Maps opgezocht. De bruggen verbinden de oevers van de Hoofdvaart en wel tussen Nieuw Vennep en Hoofddorp. Beide plaatsen liggen aan de spoorlijn van Amsterdam Centraal naar Leiden en er stopt een Sprinter. Het ligt voor de hand er mijn eigen ns-wandeling” van te maken. In Google Maps teken ik onderstaande eenvoudige wandeling.

De reis
Het is mijn bedoeling vanaf Amsterdam Centraal eerst met de Sprinter naar Nieuw Vennep te rijden. Door werkzaamheden gaat de trein echter niet verder dan Schiphol Airport, waardoor ik op zeker moment in een optocht van rolkoffers over het perron naar een lichtelijk overbevolkte roltrap schuifel. Vrolijk verbaas ik mij over de vele verschillende talen ik om mij heen hoor spreken. Eenmaal buiten gekomen waai ik met windkracht 7 van het ene busplatform naar het andere tot ik aanland bij een jongeman in een geel hesje die mij bevestigt dat binnen afzienbare tijd hier de speciale NS-bus naar Nieuw Vennep gaat stoppen.

“U hebt een cool beroep, met deze lage temperaturen, verergerd door de harde wind.” merk ik op.

“Zegt u dat wel, meneer,” klappertandt de werkstudent, blij dat er eindelijk eens iemand oog heeft voor zijn Siberische omstandigheden. “Ik sta hier al vanaf vanochtend half vijf.”

Ik vraag me af of ik hem een van mijn boterhammen met kaas zal aanbieden, maar overweeg dat dit als een te grote opdringerigheid kan worden ervaren. In deze tijd lijkt de jeugd welhaast nog alleen broodjes van de over toonbank te eten, maar ik kan mij vergissen natuurlijk.

“U bent lekker dik gekleed, zie ik,” geef ik uiting aan het resultaat van mijn observaties, want zulke brede schouders heeft een student van zijn leeftijd nou ook weer niet.

“Wat denkt U? Een hemd, twee T-shirts, een overhemd, een dikke trui van mijn vader, een bodywarmer, een winterjas …”

“En een geel hesje,” vul ik aan.

“Ja, maar daar moet u niets achter zoeken.”

Ik haast me te zeggen dat ik dat ook echt niet doe. In deze tijd van opstanden door in gele hesjes geklede heethoofden kan men niet voorzichtig genoeg zijn.

“Alleen jammer dat ik vergeten ben een thermobroek onder mijn gewone broek aan te trekken.”

“Toen ik nog student was, hield ik bij dit soort uitzendwerk ’s ochtends gewoon mijn pyjamabroek aan als ik mijn spijkerbroek aantrok.” zeg ik, want dat lijkt me een interessante bijdrage aan de discussie.

Hij kijkt me aan met een blik van “pyjamabroek wat is dat” en richt zich vervolgens op andere passagiers om in een Babylonische spraakverwarring te trachten met zijn beste Engels, Frans of Duits allerlei Zweden, Japanners, Indiërs, Italianen, Afrikanen en Brazilianen verkleed als Eskimo’s de juiste bus in te krijgen.

Eenmaal in de juiste bus gezeten, kijk ik tevreden om mij heen. Dat regelen de Nederlandse Spoorwegen toch altijd maar goed. Van treinreizigers in België en Frankrijk hoor ik wel eens dat men daar het verder zelf maar moet uitzoeken als een traject uitvalt. Het kan zijn dat de reiziger daar in “the middle of nowhere” zich vertwijfeld afvraagt waar hij heen moet, als hij zojuist uit een kapotte trein is gestapt. Dat doet de N.S. toch echt veel beter.

In Nieuw Vennep aangekomen loop ik bij het station via de Venneperweg, hoe verzinnen ze het. Bij de Witte Kerk sla ik rechtsaf de Hoofdweg langs de Hoofdvaart in. Ik weet dat ik tot Hoofddorp deze Hoofdweg via het fietspad moet volgen – hoofdzakelijk zou ik er bijna aan toevoegen.

HARP
Aan de rand van de bebouwde kom ontwaar ik al snel de contouren van de eerste door mij zo bewonderde brug.


Dichterbij gekomen ontwaar ik een vrij liggend grasveld vanaf waar ik kan fotograferen.

Esthetisch heel fraai en wiskundig zeer verantwoord aan deze brug is natuurlijk de kromme lijn, die lijkt te ontstaan door het samenspel van al de rechte tuidraden. In mijn onvolprezen wiskundeprogramma Geogebra kan ik dit nabootsen. Wiskundig gezien komt het hier op neer: als ik van een kromme lijn heel veel raaklijnen teken, ontstaat een beeld van de oorspronkelijke kromme lijn, zonder dat ik die ook daadwerkelijk teken. In onderstaand plaatje heb ik van de functie f(x) = 1/x een hele serie raaklijnen getekend. Deze raaklijnen omsluiten samen de oorspronkelijke grafiek van de functie. Het lijkt zelfs of ik die getekend heb, maar dat is dus niet zo.

Bovenop het talud, kan ik veilig op een verkeersheuveltje midden op de rijbaan plaats nemen om de volgende foto te scoren:

HARP zorgt er voor dat men, rijdend op de Noordelijke Randweg, de overkant van de Hoofdvaart zonder tewaterlating kan bereiken. De brug is 143 meter lang. Lengte pyloon: 82 meter.

In de zomer kan ik mij een zonnige picknick op het grasveld, onderwijl genietend van het uitzicht op de schoonheid van HARP, best voorstellen. Op dit moment nodigen de weersomstandigheden niet echt uit tot zitten in het koude gras en ik vervolg mijn weg schielijk, daarbij geholpen door wind in de rug.

De volgende brug die ik tussen het geboomte ontwaar heet

CITER


Indrukwekkend, toch? Het zijn eigenlijk twee bruggen. De semi-fietsbrug, links op de foto is parallel aan de Hoofdvaart over de Nieuwe Bennebroekerweg. Minder goed te zien is hier een autobrug over de Hoofdvaart. Lengte pyloon: 62 meter.

Door de lage zon lukt het met niet om een redelijke foto vanaf de andere kant te maken. Wel heb ik van Google Maps onderstaande foto gepikt. Vanuit de lucht is de fraaie structuur min of meer te zien.

Bij CITER is de wind op zijn heftigst en de plek nodigt daardoor niet uit tot een lang verblijf. Ik vervolg mijn weg via het fietspad, waar ik in totaal, gedurende het uur dat ik er loop, drie fietser ontmoet.

LUIT
De derde Calatravabrug voert de Maria Tesselschadelaan over de Hoofdvaart in Hoofddorp. De brug dient tevens als rotonde. Lengte pyloon: 48 meter.

Als je er omheen loopt geven de tuidraden je steeds een ander beeld.




Het station Hoofddorp is vanaf deze plaats makkelijk te vinden. Je loopt het fietspad richting Hoofddorp verder af, totdat je een bordje “station” ziet. De trein brengt je terug naar Amsterdam Centraal.
In totaal ben je met deze wandeling, inclusief treinreizen, zo’n twee en een half uur onderweg.



Hyper de hyp

Bouwen Posted on Sun, September 30, 2018 09:51:18

Wij bezoeken regelmatig Zeeland. Als we Zuid-Beveland binnen rijden zien we net over de Belgische grens, onontkoombaar in de weidsheid van de delta, twee koeltorens hun voortdurende stoom afblazen.

Vanaf de dijk bij de Bocht van Bath ziet het er ongeveer zó uit:

foto Wikipedia / Smiley.toerist

Dichterbij kun je iets beter hun vorm bekijken.

foto Wikipedia / Alf van Beem

Wat er van boven uit komt is eigenlijk alleen maar stoom. Die stoom komt van het warme water dat gebruikt is om een installatie te koelen. Dat water wordt in open bakken gepompt. De natuur doet vervolgens zijn werk. Door de openingen aan de onderkant gaat lucht naar binnen. Bij benadering heeft de buitenkant de vorm van een zogenaamd hyperboloïde. Dankzij de hyperbolische vorm is het bouwwerk zelfdragend. Dankzij de vernauwing bovenin treedt het Venturi-effect op en is er een goede trek in de koeltoren. Een goede trek wil zeggen dat de gassen snel naar boven toe doorstromen.

Voor wie het tijdperk van de kolenkachels nog heeft mee gemaakt is “trek in de schoorsteen” een bekend begrip. De schoorsteen moest flink hol zijn en de goede vorm hebben zodat er een goede trek ontstond. Mijn nogal lompe wiskundeleraar uit de brugklas zei een keer tegen een mijner medeleerlingen die hij op het schoolplein had zien roken: “Ik zag jou roken. Het verbaast me niks. Bij jou is het hol van binnen. Dat geeft een goede trek.” Dat mocht toen allemaal nog. Kon je nog eens lachen.

Een hyperboloïde is een driedimensionale hyperbool, die ontstaan als je in gedachten of met een tekenprogramma een hyperbool om zijn as draait.

Een hyperbool kan beschreven worden met meerdere formules. Met het onvolprezen Geogebra heb ik er twee getekend.

De volgende vorm staat in de meeste schoolboeken.

Screenshot Geogebra

Maar zo kan het ook en bij wentelen om de y-as ontstaat een koeltoren:

Screenshot Geogebra

Het idee om koeltorens in deze vorm te bouwen komt van de Nederlandse ingenieur, hoogleraar en kolenmijndirecteur Frederik Karel Theodoor van Iterson. Onder zijn bewind werden bij de kolenmijn Emma de volgende hyperbolische koeltorens gebouwd.

foto Rijksdienst voor het cultureel erfgoed

Dat de hyperbolische vorm voor zo’n sterke constructie zorgt is een vondst van de Russische architect Shukhov. Met heel weinig materiaal wist hij sterke, duurzame torens te bouwen. Zijn eerste ontwerp was voor een vuurtoren aan de monding van de Dnjepr. Meer dan honderd jaar later staat deze toren er nog steeds.

Internationale roem oogstte hij met de radiozender in Moskou ontworpen in opdracht van Lenin. Ook deze toren staat er nog steeds. Zie het filmpje hieronder.

Spiderman beklimt Shukhov toren in Moskou

Maar onze nationale trots is natuurlijk de Canton tower, ontworpen door het Nederlandse architectenduo Mark Hemel en Barbara Kuit. In deze foto, die van onderop werd genomen, kun je zien dat het oppervlak kan worden beschouwd als opgebouwd door rechte lijnen.

Rechte lijnen op een gekromd oppervlak – foto Wikipedia

Dit geeft mij aanleiding om van ons retro tafeltje te controleren of mijn hyperbolische vermoeden juist is. Ik heb mijn zoon gevraagd een touwtje strak langs het tafeltje te spannen om te zien of het aansluit. De foto toont een stevig hiaat, dus het zal geen hyperboloïde zijn. Het blijft evenwel een leuk tafeltje.

Rechte lijn die niet past op het gekromde oppervlak – foto Hans Schipper – 20180929

Ook van het glazen bloemenvaasje waarin een mooie bos prijkt die onze collega ons schonk heb ik een hyperbolisch vermoeden.

Hyperbolisch vermoeden – foto Hans Schipper – 20180929

In het filmpje hieronder zie je dat het oppervlak van een hyperboloïde inderdaad opgebouwd is uit rechte lijnstukken.



La Pyramide du Louvre

Bouwen Posted on Tue, September 25, 2018 12:21:54

Begin jaren tachtig bezocht ik, op een doordeweekse dag in de herfst, samen met een studievriend het Louvre in Parijs. Ik kan me niet herinneren dat het er druk was. We hebben, om een kaartje te kopen, niet of amper in de rij hoeven staan.

Op woensdag 19 oktober 1988 was ik er weer, nu samen met Nicolien, niet om het museum zelf te bezoeken, maar om even een blik te werpen op de Piramide … van Mitterrand, de laatste der grote Franse presidenten. Het dagboek dat we van onze herfstvakantie in Parijs bijhielden meldt dat de Piramide een dag eerder was open gesteld voor publiek. We werden erg enthousiast toen we de piramide zagen. Het dagboek gewaagt: “Dat ziet er gaaf uit!” Op onderstaande foto lijkt het rustig, maar dat is slecht schijn. Aan de andere kant van de piramide staat een lange rij wachtenden.
Mooi, hè? De piramide ook, trouwens – foto Hans Schipper 19881019

La Pyramide de Mitterrand, helaas bijna altijd La Pyramide du Louvre genoemd, is een grote glazen en metalen constructie ontworpen door de I.M. Pei, een Amerikaan van Chinese afkomst. Het kunstwerk is neergezet op de binnenplaats, La Cour Napoléon, om het Louvre van een grote hoofdingang te kunnen voorzien.

In 2017 passeerden wij La Cour Napoleon opnieuw en de bizar lange wachtrij in ogenschouw nemende prezen wij ons gelukkig dat wij geen museumbezoek in de planning hadden. Wat een drukte. Als de piramide er niet had gestaan was het helemaal geen doen geweest. Mitterrand heeft, eigenwijs als hij was, het ontwerp helemaal zelf uitgekozen. Hij wilde iets heel nieuws. Dat is gelukt.

Een stukje van de lange rij wachtenden voor de piramide – foto Hans Schipper – 20170723

Over de Parijse weerzin tegen het revolutionaire ontwerp maakt H. R. Bisschop zich op 30 augustus 1989 vrolijk in Het Reformatorisch Dagblad:

Op een ochtend in januari 1984 sloeg veel Parijzenaren de schrik om het hart. Ze lazen in de krant dat president Mitterrand besloten had op het voorplein van het Louvre een meer dan twintig meter hoge glazen piramide te laten bouwen. Er stak een storm van protest op, niet alleen in Parijs, maar in het hele land. Hoe haalde iemand het in zijn hoofd op die historische plaats, waar koningen en keizers zich hadden verpoosd, zo ‘n afschuwelijk modern glazen gevaarte neer te zetten? Het zou toch vloeken met de hele omgeving? En het gezicht op de prachtige klassieke gevels van het eerbiedwaardige paleis zou voorgoed bedorven zijn. Kunstenaars, politici, journalisten, maar ook arbeiders, middenstanders en groot-industriëlen verhieven hun stem tegen de snode plannen van hun president. „Een schandaal”, zei de een. ,,Een misdaad!”, riep een ander. ,,Moord op het Louvre”, vermeldde een krant op de voorpagina. ,,Dolkstoot in het hart van Parijs!”, klonk het ergens anders. Een bekend Frans maandblad vroeg zijn lezers naar hun mening. Er kwamen 3642 reacties binnen. Daarvan verklaarden 3638 mensen zich vierkant tegen de bouw van de piramide. Slechts vier lezers bleken er geen bezwaar tegen te hebben.

Gelukkig zette Mitterrand gewoon door. Wil je een historische stad behouden én dynamisch laten blijven, dan zal je ook moeten vernieuwen, toch?

De constructie is volledig opgebouwd uit glazen segmenten en metalen palen. De precieze hoogte is 21,6 meter. Het vierkante grondvlak heeft zijden van 34 meter. Het bestaat uit 603 wiebertje-vormige en 70 driehoekige glazen segmenten. Per abuis meldde een brochure uit de jaren tachtig dat er 666 segmenten waren. Dat is later herroepen, maar het kwaad was geschied. 666 werd natuurlijk meteen in verschillende kranten gezet. Het aantal van 666 heeft aanleiding gegeven tot allerlei numerologische apekool. 666 is namelijk “het nummer van het beest”, vaak geassocieerd met Satan. In François Mitterrand, Grand Architecte de l’Univers schrijft Dominique Setzepfandt dat “de piramide is gewijd aan een macht die in het boek Openbaring wordt omschreven als het beest. De hele structuur is gebaseerd op het getal 6.” Schrijver David A. Shugarts sloeg aan het bellen en vernam van iemand van de kantoren van de architect Pei dat er 689 stukken glas zouden zijn.

De 666-mythe duikt opnieuw op in 2003, als Dan Brown in zijn bestseller Da Vinci Code liegt (foei, Dan nou toch): “Deze piramide is op uitdrukkelijke verzoek van president Mitterrand opgebouwd uit precies 666 glasplaten. Het getal is een bizar verzoek. Het is altijd al een hot topic geweest onder samenzweerders die beweerden dat 666 het aantal Satan was.” Maar … president Mitterrand heeft volgens architect Pei nooit iets dergelijks aangegeven.

Men kan er boeken over vol schrijven, kennelijk

Als verwarrende verhalen eenmaal de ronde doen kom je er niet snel meer van af. Dan is het tijd voor elementaire wiskunde. Elk van de drie zijden van de piramide zónder ingang heeft 17 rijen segmenten in de vorm van een rombus en 18 driehoekige segmenten. Het totaal heeft natuurlijk de vorm van een driehoek. Daarom kan voor het aantal rombus-vormige segmenten de formule worden gebruikt:

17 x (17 + 1) / 2 = 153. Daar komen dan nog de 18 driehoeken bij, hetgeen een totaal aantal segmenten per zijde levert van 153 + 18 = 171. De zijde waar de ingang in zit heeft 2 driehoekige en 9 rombische segmenten minder en dat levert 150 segmenten. Totaal: 3 x 171 + 150 = 513 + 150 = 673 segmenten. Zo: helder! Nou niet meer zeuren!

De verbouwing van Het Louvre en de bouw van De Piramide was een noodzakelijke ingreep. Zoals het was, kon het echt niet langer. Lange tijd was het Louvre een museum voor een betrekkelijk kleine elitegroep. Maar in de tweede helft van de twintigste eeuw veranderde dat helemaal. Hele horden toeristen begonnen uit alle delen van de wereld naar Het Louvre te komen. Het werd er zó druk en zó vol, dat men buiten (met de auto ‘s) en binnen (met de mensen) geen raad meer wist. Bovendien werd de expositieruimte veel te klein. Van de 300.000 kunstvoorwerpen die het Louvre in zijn bezit had, kon nog geen tiende deel worden tentoongesteld. Mitterrand’s rigoureuze ingreep heeft uitstekend gewerkt.

Dit is toch echt heel mooi

De bouw van de Piramide is een voorbeeld van het gebruik van de mathematica in de hedendaagse architectuur. Enige jaren geleden is daar bij uitgeverij Thoth een prachtboek over verschenen van de hand van Jane Burry en Mark Burry. Het boek heeft mij de ogen geopend voor het nieuwe bouwen. Architecten hebben voor hun ontwerpen altijd wiskunde
nodig gehad en nog steeds, maar de laatste dertig jaar komt wiskunde op een andere manier sterk naar voren. De esthetische kant van de wiskunde wordt steeds vaker markant in het ontwerp zelf tot uiting gebracht. De Piramide van Mitterrand is daar een vroeg voorbeeld van.


De nieuwe mathematica in de hedendaagse architectuur