Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

Een kalender voor Mars

Tijd Posted on Wed, October 03, 2018 20:47:00

bron: klik hier

Hoe zou een kalender voor de planeet Mars er uit moeten zien? Nu er enkele zonnewijzers op Mars staan, lijkt het tijd voor de vraag hoe de tijd op een andere planeet moet worden bijgehouden. Om dat te bedenken is het nuttig om eerst eens naar de mogelijke ontstaansgeschiedenis van onze eigen Aardse kalender te kijken.

De zonnewijzer op Mars die met de Spirit is mee gereisd

Tijd heeft altijd centraal gestaan in de ontwikkeling van beschavingen en wetenschap. De eerste nauwkeurige metingen van tijd waren het resultaat van zorgvuldige waarnemingen aan de hemel. Eenheden van tijd gebaseerd op deze astronomische waarnemingen zijn de dag, de maand en het jaar. Ze worden bepaald door de bewegingen van de Aarde, de Maan en de Zon en vormen de basis voor de kalender die we vandaag de dag gebruiken.

De dag

Dit is de rotatieperiode van de Aarde. Het opkomen en ondergaan van de zon bepaalt de vertrouwde afwisseling van dag en nacht en beheerst onze biologie en onze dagelijkse beslommeringen. De Aarde draait eenmaal per dag om haar as, waardoor voor ons een steeds wisselend zicht op de hemel ontstaat. De rotatie-as is de lijn die door de Zuid- en Noordpool loopt.

De Maan – afbeelding NASA

De Maand

Deze tijdseenheid is bij benadering afgeleid van de baanperiode van de Maan rond de Aarde. De veranderende vorm van de Maan is al lang een van de meest fascinerende verschijnselen aan de hemel. De Maan wisselt regelmatig door zijn fasen van een dunne sikkel naar een half verlichte schijf naar een volledig verlichte schijf, en krimpt dan weer naar beneden. Deze cyclus blijkt extreem regelmatig te zijn in zijn lengte en in alle culturen is hij gebruikt als een natuurlijke tijdseenheid, de “maan-d” of maand.

Het jaar

Dat is de baanperiode van de Aarde rond de Zon. Opkomen en ondergaan van de Zon gebeurt niet steeds op dezelfde plek aan de horizon, maar verandert voortdurend. Op de lente-equinox (meestal 20 maart) komt de Zon op in het oosten en gaat hij onder in het westen. Bovendien is de lengte van het daglicht gelijk aan de nachtelijke duisternis, vandaar de naam equi-nox (gelijke nacht).

Maar op elke volgende dag stijgt de Zon iets meer naar het noorden van het oosten, passeert hij ‘s middags iets hoger aan de zuidelijke hemel, en gaat hij iets meer naar het noorden van het westen onder. De uren daglicht nemen voortdurend toe tot een maximum wordt bereikt op het zomersolstitium of de zomerzonnewende(21 juni). De Zon stopt dan zijn gang naar het Noorden en om vervolgens terug naar het zuiden te gaan.

De volgende drie maanden tonen een vergelijkbare, maar tegengestelde dagelijkse beweging van de Zon terug naar het oosten en het westen. Op 23 september zijn dag en nacht weer even lang: de herfstequinox. In de daaropvolgende weken gaat de Zon verder naar het zuiden, gespiegeld aan de beweging in de lente, zodat elke dag de zonsopkomst en zonsondergang verder naar het zuiden brengt. Tenslotte stopt de Zon weer bij een extreme waarde op het winter solstitium ofwel de winterzonnewende (21 december).

De Kalender

Geconfronteerd met de harde realiteit van wisselende seizoenen, kregen lang geleden mensen behoefte aan een methode om de nabije toekomst zo nauwkeurig mogelijk in te schatten. Een betrouwbare en voorspelbare methode was de jaarlijkse cyclus van de Zon. Zorgvuldige observatie onthulde de vier ijkpunten die we kennen als de zonnewendes en equinoxen. Als één van deze punten door de Zon werd bereikt, kon het begin van een nieuw seizoen worden uitgeroepen. Het zou niet meer dan logisch zijn om te tellen hoeveel dagen er tussen deze ijkpunten lagen en in principe te beginnen met het vinden van het aantal dagen in een jaar.

Maar de Maan eiste ook vermelding in de kalender en dus zouden ook maanstanden worden geregistreerd om het aantal dagen in een maand en het aantal maanden in een jaar te bepalen. Hier is waar het eerste grote probleem van de calendrica zich voordeed: het aantal maanden in een jaar was 12, met ongeveer 11 dagen “over”. Wat te doen met de extra 11 dagen? Bovendien was het aantal dagen in een maand ongeveer 29 – wat te doen met de extra halve dag?

Julius Caesar

Julius Caesar verliet de Maan als basis voor de kalender en verklaarde dat het jaar 365 dagen had. Elk vierde jaar zou 366 dagen hebben – een schrikkeldag op 29 februari. Maar met een langjarig gemiddelde van 365,25 dagen en de werkelijke lengte van het jaar gelijk aan 365,2422 dagen, gleed de Juliaanse kalender elke 125 jaar een dag uit. Dit werd in de 16e eeuw door paus Gregorius XIII met een lichte wijziging gecorrigeerd. Zijn Gregoriaanse kalender is nu de internationale standaard. Die verschilt van de Juliaanse in die zin dat een paar jaren die normaal gesproken schrikkeljaren zouden zijn overgeslagen worden. Alleen de eeuwjaren die deelbaar zijn door 400 zouden schrikkeljaren zijn. Het Gregoriaans gemiddelde jaar van 365,2425 dagen houdt de kalender nog 2900 jaar binnen een dag!

De Week

Er wordt wel verondersteld dat de oorsprong van deze vaste cyclus van meerdere dagen te maken heeft met de behoefte aan een gemeenschappelijke tijd voor mensen om samen te komen en goederen uit te wisselen: de wekelijkse markt. In verschillende culturen en op verschillende tijdstippen zijn hiervoor periodes van 3 tot 16 dagen gebruikt. De zevendaagse week die nu wordt gebruikt, zou voornamelijk afkomstig zijn van de oude Hebreeën. Een theorie voor de geboorte van deze zevendaagse cyclus is dat het betrekking heeft op het verslag in de Bijbelse Genesis waar God er zeven dagen over deed om de wereld te scheppen. God rustte op de zevende dag.

Tabel met de herkomst van de namen van de dagen

Maar de oorsprong van de zeven dagen in Genesis kan ook komen van andere redenen om de voorkeur te geven aan het getal zeven. Bijvoorbeeld, de ouden herkenden zeven bijzondere objecten aan de hemel. Ze heetten Zon, Maan en de planeten Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus. De planeten werden ook als goden gezien.

Het Uur

De Egyptenaren waren blijkbaar de eersten die de dag in 24 uur verdeelden, hoewel het eigenlijk in twee periodes van 12 uur was, één voor de periode van daglicht en één voor de nacht. Het is niet precies duidelijk waarom de periode van het daglicht in 12 eenheden werd verdeeld, hoewel het verband kan houden met het feit dat er ongeveer 12 manen in een jaar zijn.

De Minuut en Seconde

De Babyloniërs introduceerden eerst het sexagesimale systeem (een systeem gebaseerd op het getal 60), mogelijkerwijs omdat er ongeveer 360 dagen in een jaar zijn en het getal 360 (en 60) deelbaar is door verschillende factoren (2, 3, 4, 5, 6, 12). Het Babylonische getallensysteem was dus gebaseerd op 60, net zoals het onze op 10 is gebaseerd. Dit maakte het voor de hand liggend om de dingen door 60 te delen. Uiteindelijk werd een zestigste van een uur bekend als een pars minuta (klein deel) in het Latijn: een minuut in het Nederlands. Een zestigste van een minuut was een pars secunda (tweede deel) onze seconde.

Hoe zit het nu met Mars?

Wat zouden de tijdseenheden en het kalendersysteem moeten zijn die natuurlijk zouden zijn voor een Marsman of -vrouw? Sinds in de jaren zeventig het ruimteschip Viking naar Mars vloog heet een dag op Mars SOL. Deze duurt 24 (aardse) uren, 39 minuten, 35,2 seconden, oftewel 1,02749 aardse dagen.

Wat zouden de sub-eenheden van de sol moeten zijn?

Een fantasieloos antwoord zou zijn om te besluiten dat 24 uur op Mars een sol vormen. De verdeling van onze dag in 24 eenheden gaat in ieder geval terug naar de oude Egyptenaren, maar heeft niets te maken met Mars, dus waarom zou je voor 24 kiezen? Is tien uur in een sol beter of 2x tien uur? Als Marsman kun je beter eerst het aantal vingers op je handen tellen! Misschien komt de tienurige klok die de Fransen direct na de Franse revolutie tevergeefs probeerden in te voeren dan toch weer in zwang. En hoe zou je het uur opsplitsen in kleinere eenheden? In Frankrijk werd het uur opgesplitst in 100 minuten en de minuut in 100 seconden. Ideetje?

Een Mars kalender is nog lastiger.

De rotatie-as van Mars heeft een soortgelijke kanteling als die van de Aarde (25,2 graden versus 23,4 graden), wat betekent dat Mars ook door vier seizoenen gaat. De toekomstige bewoners van Mars verzinnen daar wellicht eigen namen voor.

Maar omdat Mars veel verder van de Zon af staat, is het jaar van Mars met 668,60 sols (686,98 aardse dagen) een stuk langer. Wat zou de naam van het Marsjaar moeten zijn? En hoe moet het verdeeld worden?

Snelle maantjes

Hier op Aarde hebben we in principe 12 maanden in ons jaar omdat onze Maan toevallig ongeveer 12 keer om ons heen gaat als we eenmaal om de Zon draaien. Maar Mars heeft twee manen, Phobos en Deimos, die met een noodgang van respectievelijk 7,6 en 30,3 uur rond de planeet racen. Als je als Marsman op een hemellichaam staat dat zelf om de 24,6 uur draait, is het resultaat dat je de snelle Phobos twee keer per dag ziet, opkomend in het westen en ondergaand in het oosten met een schijnbare periode van 0,45 sols, terwijl Deimos zich bescheidener gedraagt door elke 5,38 sols in het oosten op te stijgen. Niet echt een basis voor de lengte van een maand.

Wat de antwoorden ook zijn, Mars verdient zeker een set van unieke en duidelijk Marsvriendelijke eenheden van tijd!

Marstijd



Een zonnewijzer op Mars

Tijd Posted on Tue, October 02, 2018 12:49:29

In de jaren negentig van de vorige eeuw maakte hij naam als wetenschapspopulariseerder: Bill Nye, The Science Guy. Nye liet veel dingen ontploffen en van grote hoogte op de grond vallen, maar hij legde ook de principes van de wetenschap uit. Hij afficheerde zich als clowneske televisieamanuensis, die met grote gebaren en opgewonden presentaties zijn enthousiasme voor wetenschap overbracht.

Wall paper van de immer immens populaire Bill. Download hier

Een hele generatie schoolkinderen zag hem thuis op de buis. Als de scienceteacher op school even geen puf had gooide hij een videoband met een opname van Bill’s programma in de recorder. Eind jaren negentig stopte de serie. Nog steeds worden afleveringen op Youtube goed bekeken. Ik zag een episode, die een jaar geleden ge-upload was, met toch al driekwart miljoen views. Een andere wetenschapspopulariseerder, NASA medewerker Neil DeGrasse Tyson, zegt over hem: ‘Bill was de natuurkundeleraar die je altijd had willen hebben’. Nu, een kwart eeuw later, staan nog steeds, overal waar Bill komt, gillende studenten om hem heen, bedelend om een boks en een selfie.

Bill Nye vertelt over de zonnewijzer op Mars in een TED lezing

In maart 2012 hield Bill Nye een TED-lezing over een zonnewijzer die gebracht zou gaan worden naar Mars. Hij doet dat voor een zaal met financiële deskundigen, niet echt een publiek waarvan je zou verwachten dat ze op de stoelen gaan klimmen voor een zonnewijzer. Maar ook hier weet hij knap contact te maken met het publiek. Voor de grap maakt hij bekend dat hij S.O.D. heeft, een afkorting van Sundial Obsessive Disorder. De vertaling is misschien Zonnewijzer Obsessieve Stoornis.

In een vrolijke speach met een serieuze ondertoon vertelt hij hoe hij S.O.D. heeft opgelopen. Dat ging via zijn vader, die in 1941 als krijgsgevangene werd afgevoerd naar het door Japan bezette China. In het kamp hadden ze geen horloges, maar wiskunde bracht uitkomst.
Mits kaarsrecht ? en voorzien van zon kan er een zonnewijzer van gemaakt worden – foto Hans Schipper – 20181002

Vader Nye construeerde een zonnewijzer door een spade rechtop in de modder te zetten waarvan de schaduw de uren aangaf, waardoor ze toch een notie van tijd kregen. Door aandachtig met dit “instrument” om te gaan wisten ze de breedtegraad waarop ze zich bevonden te achterhalen. In de chaotische apotheose van de oorlog lukte het de kleinste van het gezelschap zich te verstoppen in het ventilatiesysteem van een treinwagon en naar het Oosten te ontkomen waar hij de geallieerden waarschuwde dat ver in de binnenlanden van China nog Amerikaanse krijgsgevangenen verbleven. Mede doordat hij de breedtegraad wist, kon hij aangeven waar gezocht moest worden. Nye suggereert in zijn TED-lezing dat de zonnewijzer van essentieel belang was voor de opsporing van de gevangenen. Je kunt je afvragen of de ontsnapte gevangene het kamp niet zou hebben kunnen duiden zonder dat een zonnewijzer in het spel was geweest, maar de zonnewijzerenthousiasteling gelooft natuurlijk graag Nye’s verhaal.

Het boek, geschreven door Bill’s vader – screenshot

Vader Nye werd door zijn ervaringen een zonnewijzerfanaat en schreef uiteindelijk een boek over het onderwerp dat hem het erelidmaatschap van de North American Sundial Society opleverde. Bill Nye erfde vaders interesse.

Tekening van het exemplaar dat in 2002 naar Mars werd geschoten

Eind jaren negentig van de twintigste eeuw ziet Nye op een evenement een “photometric calibration target”, dat mee genomen zal gaan worden op een reis naar Mars. Een “photometric calibration target” is een apparaat om camera’s te ijken. In het midden staat een metalen paal met grijze ringen eromheen, waarmee de kleur van de Marshemel kan worden vastgesteld. Nye had een “aha” moment. Dit apparaat kan gemakkelijk worden omgezet in een zonnewijzer, die het verloop van de tijd op de rode planeet in kaart brengt, zonder dat daar een batterij voor nodig is.

De zonnewijzer in werking op Mars – foto NASA – Tyler Nordgren

Door de suggestie van Bill Nye The Science Guy bevindt zich nu een werkende zonnewijzer op Mars. In 2002 ging er een op weg naar Mars en er is er ook een met datumstempel 2012. In een volgende post zal ik deze zonnewijzer nader beschrijven.

Tekening van het exemplaar dat in 2012 verhuisde naar Mars



Mooie tijdstippen

Tijd Posted on Fri, September 28, 2018 10:59:52

Tegenover het station waar ik net ben gearriveerd nestel ik mij in een stoel op een zonnig caféterras in afwachting van een afspraak die ik om 15h00 heb. Als ik nog maar net zit gaat mijn telefoon: mijn afspraak meldt mij file en ik zal voor onbepaalde tijd in de wachtstand moeten gaan zitten. Een comfortabel gevoel van onverwachtse maar toch zo welkome vrijheid vleit zich als een warme deken om mij heen: ik hoef even niks.

De juffrouw van de bediening komt me met onverholen tegenzin vragen of ik iets wil gebruiken. Ik bestel een kop koffie en de krant, die ze beide na enige tijd komt brengen. Ik bedank haar met alle vriendelijkheid die ik in me heb, complimenteer haar vervolgens met haar werkomgeving, probeer het genoegen van het mooie weer met haar te delen, maar dit alles tevergeefs: op haar gelaat blijft het zwaar bewolkt.

Ik sla de krant op, probeer me erin te verdiepen, maar mijn ogen kijken steeds een andere kant op. Schuin tegenover het café dat best “In Den Chagrijnigen Kelnerinne” zou mogen heten of zoiets zie ik een fietsenwinkel met achter de etalageruit een klok voorzien van digitale tijdaanduiding. De ware wiskundeliefhebber hoeft zich nooit te vervelen.

Volgens de Gazelle dealer is het 2 34.

“Een mooi tijdstip,” denk ik, “want 2, 3 en 4 zijn opeenvolgende gehele cijfers.”
Na het verspringen naar 2 35 blijf ik de tijd mooi vinden, immers 2 + 3 = 5. En omdat 2 x 3 = 6, wordt het er een minuut later niet minder leuk op. Het tijdstip 2 37 zegt me even niets, maar gelukkig komt 2 38 er vlak achteraan en omdat twee tot de derde gelijk is aan acht, zit dat wel snor.

Een leuk spelletje, maar ik verman me en verdiep me opnieuw in de krant, waaruit ik pas tien minuten later weer mag op kijken van mezelf om gelukkig nog net 2 48 te kunnen zien. Die mag ook mee doen, want 2 x 4 = 8 immers. Ik lees een artikel waarvan de schrijver zich boos maakt over de geringe rekenvaardigheid van de jeugd van tegenwoordig. Dat zal misschien wel kloppen, maar die rekenvaardigheid was een halve eeuw geleden niet veel beter. Toen ik in lang vervlogen tijden in de brugklas zat keek onze barse wiskundeleraar regelmatig woedend de klas in om met een stentorstem te brullen: “Ze kunnen tegenwoordig ook helemaal niet meer rekenen.” Vooral het woordje “ook” maakte er volgens mij een redelijk juiste bewering van: in andere tijden kon men het ook niet kennelijk. Ik was zo wijs dit niet hardop te zeggen.

Aan dit boekje heb ik met mijn gezin op vakanties veel plezier beleefd. – scan Hans Schipper – 20180928

Je kunt pas goed rekenen als je het regelmatig doet, uit je hoofd of op een blaadje papier, gewoon voor de lol. Een boekje in huis met daarin veel leuke rekenpuzzels helpt enorm.
Voor wie op zoek is naar steviger kost is er bijvoorbeeld bovenstaand boekje, verkrijgbaar via bol.com – screenshot Hans Schipper – 20180928

Daar mijmer ik enige tijd over, tot de telefoon weer gaat en mijn afspraak meldt dat de file nog muurvast zit en ik op zijn kosten nog een kop koffie mag bestellen. Een zekere onrust maakt zich van mij meester, want nu moet ik de juffrouw weer roepen en door de ruit zie ik haar met zekere grimmige vastberadenheid in het oneindige staren. Na enige tijd besluit ik het niet op mij te laten zitten. Ik loop naar binnen en zeg: “Lekker weertje buiten, juffrouw. U zou eens even buiten moeten komen voelen hoe lekker het is en als u dat dan toch doet, neemt u dan meteen een kopje koffie voor mij mee. O ja en een stukje appeltaart met slagroom, want je leeft maar een keer, vindt U niet?” Het duurt enige tijd voordat ze mijn toespraak verwerkt heeft, maar ze komt uiteindelijk toch in beweging.

Als ze het appelgebak voor me neer zet kan er zowaar een glimlach van af.
“Zelf gebakken?” vraag ik.
“Tuurlijk.”

Bij de winkel schuin-tegenwoordig licht ondertussen 3 14 op dat, zoals iedereen weet die voortgezet onderwijs heeft genoten, de afgeronde waarde van het roemruchte getal pi voorstelt. Gedurende geruime tijd gaan er nu diverse mooie tijdstippen aan mij voorbij. Om er maar eens een paar te noemen: 3 21, 3 33, 3 45, 3 47, 3 58, 4 20 …

Daar gaat de telefoon weer. Mijn afspraak informeert bezorgd hoe ik me voel.
“Ik voel me uitstekend. Het is eerder vervelend voor jou,” zeg ik.
“Ben je sarcastisch of zo?”
“Wel nee, ga maar na.

It’s pi-time – foto Hans Schipper – 20180928

Prima Primo. Ik zit op een bediend terras en de bediening is een psychologisch zwaar geval bij wie ik al mijn sociale kunnen in de strijd heb moeten werpen om onder vreedzame omstandigheden iets te eten en te drinken te kunnen bemachtigen. En ik kan je zeggen, het is min of meer gelukt. Er zelfs naar me geglimlacht.

Secuur Secundo. Ik zit lekker in het zonnetje.

Terdege Tertio. De omgeving biedt mij volop kansen wiskunde te doen, maar ja dat heb ik bij iedere omgeving. Ik heb uitzicht op een klok met numerieke tijdsaanduiding en bij ieder tijdstip probeer ik een aritmetische betekenis te verzinnen.

Quantum Quattro. Ik lees de krant.”

“Nou voel ik me schuldig, dat je door mijn te laat komen een zonnesteek opgelopen hebt.” schampert mijn afspraak.
“Maak je geen zorgen,” recipieer ik, “Zojuist komt het tijdstip 04 23 voorbij op een klok tegenover het station. Dat is deelbaar door 3. Weet je hoe ik dat zo snel weet?
“Zeg het maar.” klinkt het dof door de lijn. In de auto regeert blijkbaar de verveling.
“Dat kun je zien, omdat 4 + 2 + 3 = 9 en dat is een drievoud.”
“Oh … Nou … Fijn.”

Ik ga onverdroten verder: “Om 4.24 uur zit het cijfer 2 ingeklemd tussen zijn kwadraten. Dat verschijnsel doet zich alleen voor om 0.00 uur, 1.11 uur en om 9.39 uur. Immers 16.416 uur bestaat niet op een digitale klok.”
“Heeft die juffrouw van het café iets door je koffie gedaan of zo?”
Ik: “In dat geval lust ik nog wel een bakje.”

Aan de andere kant van de lijn ontstaat geestelijke beweging: “Ik heb ook zo’n klokje. Ik zie 4 25. Moet ik het zó zien: 4 is het kwadraat van 2 en 25 is het kwadraat van 5? Daarna 4 26: 4 + 2 = 6. Wat moet ik met 4 27??”

Ik: “427 is deelbaar door 7.”
Hij: “Hoe zie je dat zo snel?”
Ik: “Wel, 42 is deelbaar door 7, dus 420 ook, dus 427 ook.
Hij: 4 28 kan ik zelfstandig aan, 4 x 2 = 8. Zeg ik moet hangen, want we gaan weer rijden. Hopelijk tot zo meteen. Houdt het hoofd koel. Vraag desnoods een koude lap voor op je voorhoofd. Hoi.”
Ik: “Hoi.”
Dan wordt het 4 32. Dat geeft meerdere mogelijkheden.



Een Zonnewijzerroute

Tijd Posted on Mon, September 17, 2018 11:21:08

Al enige tijd houd ik de website van De Zonnewijzerkring met meer dan gemiddelde belangstelling in de gaten. Als op een gegeven moment mijn kinderen vragen wat ik voor mijn verjaardag wil, opper ik een jaarlidmaatschap van dit genootschap. Als nieuw lid ontvang ik Het Gele Boekje met daarin de locaties van duizenden Nederlandse zonnewijzers.

In juli van dit jaar organiseer ik voor mijn brugklasleerlingen een projectweek over Licht. Onderdeel van het programma wordt een gezamenlijke fietstocht langs de zonnewijzers van Zutphen en omgeving. Zoeken in Het Gele Boekje leert mij dat in de hal van het vroegere gebouw van het Stedelijk Museum aan de Rozengracht in Zutphen een kubusvormige zonnewijzer heeft gestaan. Ter illustratie een foto die ik maakte in Gent:

Kubusvormige zonnewijzers zijn imposant. Laatst bezocht ik mijn dochter in Gent en zij wees mij op de zonnewijzer van het gemeentehuis – foto Hans Schipper – 20180904

Ruim een jaar eerder is het museum naar de nieuwe plek aan het ’s Gravenhof verhuisd en ik vraag mij af of de verhuizers de cultuurhistorische waarde van de middeleeuwse tijdswaarneming op waarde geschat hebben en de kubus een respectabele nieuwe plaats hebben gegund.

Bij geruchte verneem ik dat de zonnewijzer een nieuwe plaats in de kloostertuin gekregen heeft, maar eigen onderzoek ter plekke leert mij dat dit niet het geval is. Stadsarcheoloog Michel Groothedde brengt uitkomst. Hij bericht: De grote stadszonnewijzer hing vanaf de vijftiende eeuw tot ca. 1860 in de top van de gevel van Houtmarkt 51 (het huis De Witte Wanne). Dat was praktisch vanwege het gelijkzetten van de klok in de Wijnhuistoren. De erfdienstbaarheid van de stadszonnewijzer aan de particuliere gevel verviel toen de nationale tijd werd ingesteld vanwege het spoorboekje. De topgevel is toen ook gesloopt en het huidige beeld ontstond.

De pijl wijst de vroegere plaats van de zonnewijzer op de Zutphense markt aan – afbeelding gemeente Zutphen

Het huidige beeld van de markt – foto Hans Schipper – 20180712

Dit levert dus een leuke puzzel op. Het zal toch niet zo zijn dat de stadszonnewijzer zo maar verdwenen is? Na enig speurwerk brengt een mail van een museummedewerker uitkomst. De zonnewijzer blijkt te gaan worden gerestaureerd. Nou wil ik hem zien ook. Ik dien een verzoek in tot bezichtiging waarop het antwoord om organisatorische redenen tot na de vakantie wordt verdaagd.

We zullen de fietstocht in ieder geval beginnen bij de locatie op de markt waar ooit de zonnewijzer stond. De tocht daarna zal ik moeten voorbereiden. Met Het Gele Boekje van De Zonnewijzerkring in de fietstas toer ik op een mooie zomeravond van Zutphen naar Eefde en Warnsveld waar ik meerdere exemplaren hoop aan te treffen.

In Eefde neem ik de afslag vanaf de Zutphenseweg naar de Blaakhof en doorkruis een wijk met bungalows uit de jaren zestig. Echt een oord voor zonnewijzers. Aan de Singelweg vind ik er een en aan De Blaak ook een die beide niet in het boekje staan. Alle zonnewijzers die ik tot nu toe ben tegen gekomen zijn van het equatoriale type “hoepelsfeer”. Bij CBS De Bargerweide zou er een moeten staan in de vorm van een open bijbel. Helaas kan ik deze niet terug vinden. Even een flash forward: thuisgekomen besluit ik te mailen naar het info@ emailadres van de basisschool. De zondag er op komt het vriendelijke doch teleurstellende antwoord. Er heeft tot voor acht jaar inderdaad een zonnewijzer gestaan. Deze is toen, samen met de heuvel waar hij op stand, verwijderd en vervangen door een krokodil. ? De conciërge heeft de zonnewijzer mee genomen en geplaatst in de tuin van een bedrijf in Zutphen. De conciërge is helaas ondertussen overleden. Ook hier heb ik een los eindje in de vingers. Ik begin me een soort zonnewijzerdetective te voelen.

Terug naar de fietstocht. Op weg naar de sluis over Het Twente Kanaal passeer ik in het Eefdes gedeelte van de Kapper Allee een leuke zonnewijzer die een afgeleide is van een equatoriale zonnewijzer. Deze staat niet in Het Gele Boekje vermeld en ik neem mij voor hierop nog actie te ondernemen.

Enkele honderden meters na de sluis ga ik rechts De Dam op, op weg naar Huize De Dam. De voortuin is privéterrein, dus ik kom niet dicht bij deze mooie zonnewijzer van bescheiden omvang. Op de foto is hij net te zien, links van de vlaggenmast.

Huis De Dam – foto Hans Schipper – 20120712

Vanaf De Dam richting Kapper Allee, de Zutphense zijde, want bij Huize De Voorst hebben ze er een staan van een afmeting die past bij dit prachtige voormalige jachtslot van de Oranjes.

Huize De Voorst – foto Hans Schipper – 20120712

Rest mij nu nog een bezoek aan Huize Het Velde in Warnsveld, waar de Politieacademie zetelt. Enigszins achterdochtig gade geslagen door borrelende congresgangers die bij mijn naderen hun gesprekken dempen, bestudeer ik de voorgevel van het gebouw. Om het goed te kunnen zien scharrel ik steeds verder het terras op. Iemand van de bediening vraagt mij vriendelijk of ik ergens mee geholpen kan worden. Als ik zeg dat ik alleen de zonnewijzer even wil bekijken, besef ik het ongewone van mijn bezoek en voel ik me verlegen worden onder mijn eigen woorden. Gelukkig mag het even: “Gaat uw gang maar hoor.”

Boven in de gevel bevindt zich een platte verticale stenen zonnewijzer, waar helaas de gnomon van af gebroken is. De steen is iets gedraaid in de gevel geplaatst. Kennelijk is de zonnewijzer gemaakt voor oriëntatie op het zuiden en wijkt de muur hiervan af.

Huize Het Velde – de pijl wijst de verticale zonnewijzer aan

Aan de Rijksstraatweg ligt Huize Baank. Het Gele Boekje meldt dat hier ooit een zonnewijzer stond die door bewoners bij een verhuizing is mee genomen. Inderdaad zie ik in het gazon alleen een betonnen plaat met vier bouten waar wellicht in betere tijden de zonnewijzer mee vast heeft gezeten.

Thuis gekomen verwerk ik de resultaten in een route op Google maps. Er kan gefietst worden.

De fietstocht in Google maps



Hoe ik kennis maakte met de Gnomon

Tijd Posted on Sat, September 15, 2018 17:30:44

Voor ons lijkt het net, of de aarde stil staat en dat de zon langs de hemel beweegt. Volgens Copernicus (A.D. 1543) staat de Zon stil en draait de Aarde om hem heen. Nou ja, eigenlijk is het ingewikkelder maar tegenwoordig is dit eenvoudige model gemeengoed. Voor de door de Zon veroorzaakte schaduwen die wij hier op Aarde zien, maakt het niet uit, die zijn hetzelfde, wat er dan ook om wat draait. De schijnbare beweging van de Zon is de feitelijke beweging die wij waarnemen. Het is die beweging die de zonnewijzer heeft mogelijk gemaakt. Een zonnewijzer is ieder apparaat dat gebruik maakt van de schijnbare beweging van de zon om een schaduw of een lichtvlek te laten vallen op een tijdschaal.

Wie de zonnewijzer heeft uitgevonden zullen wij nooit weten. Maar we kunnen ons enkele van de factoren voorstellen die hebben geleid tot de uitvinding. Al heel vroeg in onze geschiedenis moeten mensen de schaduwen van bomen hebben waargenomen en hebben opgemerkt dat de schaduwen korter werden naarmate de ochtend verstreek en daarna gedurende de middag weer langer werd. De schaduw van een verticaal object zoals een stok of een speer, of in latere tijden een hoge obelisk, kan dus worden gebruikt om het verstrijken van de tijd aan te geven. Die stok, speer of obelisk wordt in de zonnewijzerkunde gnomon genoemd.

Een van de windmolens bij Fort de Pol in Zutphen – foto gemeente Zutphen – 2017

Tot voor tien jaar was ik me niet in zonnewijzers geïnteresseerd. Dat veranderde toen ik met een groep 4HAVO leerlingen aan een onderzoek naar windenergie werkte. Het project duurde een week en was een samenwerkingsverband tussen Wiskunde en Natuurkunde. Verspreid over de week was er vanuit het vak Natuurkunde veel aandacht voor de technische kant van de zaak: inductiespanning, een dynamo demonteren, zelf een elektromotor maken, meten aan een propeller. Er kwam ook iemand van een milieuadviesbureau enkele lessen geven.

Om het ding van dicht bij te ervaren, fietsten we met z’n allen naar het uiterste randje van industrieterrein De Mars, waar Zutphen drie grote windmolens heeft laten bouwen. Het onderwerp windmolen krijgt een andere inhoud als je er naast hebt gestaan, de imposante wieken hebt zien ploegen en ook het bijbehorende geluid hebt gehoord.

Ter plekke hebben de leerlingen metingen verricht om met behulp van derdeklas goniometrie de hoogte van een windmolen te kunnen berekenen. Voor het vak wiskunde werd van de leerlingen gevraagd te onderzoeken in welk gebied aanwonenden last zouden hebben van de zogenaamde slagschaduw. Een slagschaduw, ook wel schim genoemd, is de schaduw die een object werpt op een ondergrond of een ander voorwerp. In dit geval een is het een windmolen, die een schaduw werpt op de grond of op een huis. Bij de slagschaduw van een windmolen gaat het met name om de hinder die men ondervindt van de draaiende wieken. U denkt misschien: “Hoezo slagschaduw?” Wel nu, erbestaat ook een eigen schaduw. Dat is de niet belichte kant van een voorwerp.

Het is, denk ik, aardig om te vertellen hoe gaande een project een nieuw idee kan ontstaan met verassende resultaten. Bij het voorbespreken van het project kwam een bericht uit de plaatselijke pers ter sprake over een claim die door omwonenden van de windenergiemolens bij de gemeente zou worden gaan ingediend wegens planschade. Enkele boerderijen komen op een zonnige dag gedurende enige tijd in de slagschaduw te liggen van ronddraaiende molenwieken.

Gezicht op het uiterste puntje van Zutphen vanuit het Noorden – foto gemeente Zutphen – 2017

Dit werd als zeer hinderlijk ervaren. Via de rechter wordt in zo’n geval vaak om schadevergoeding gevraagd. Een hoop gedoe voor omwonenden en exploitant, maar interessant voor ons! Het geeft ons de mogelijkheid de leerstof aan te bieden binnen een maatschappelijke context.

Voor het tekenen van dat schaduwgebied zullen de leerlingen voor verschillende tijdstippen de beschikking moeten hebben over de stand van de zon. Internet biedt uitkomst. Ik vind er meerdere shadowcalculators. Hiermee treed ik binnen in de wereld van de Zonnewijzers, maar ik realiseer me dit nog niet.

Na onderzoek in deze mij vrijwel onbekende materie, kom ik tot de volgende opdracht:

· Bereken met behulp van de zonshoogte één keer de lengte van de schaduw. (Erg nuttig om de goniometrie weer eens op te halen).

· Maak een tabel met
* In de linker kolom tijdstippen van zonsopkomst tot zonsondergang
* In de tweede kolom de daarbij horende schaduwlengte
* Daarnaast het Azimut, om de richting van de schaduw te kunnen tekenen
· Teken op een stafkaart van de omgeving van de windmolen de eindpunten van de schaduwen en arceren vervolgens het gebied waar schaduw in de loop van de dag valt.

Om uit te proberen maak ik voor de datum 22 december zelf een tabel en een tekening.

Tabel gemaakt met behulp van een shadow calculator – Hans Schipper

De tekening bij de tabel – Hans Schipper

Het Azimut is de draaiing van de zon t.o.v. het Noorden. (Dat kom ik op Internet helaas op verschillende manieren tegen). In het Oosten is de Azimut dus 90°. De schaduw wijst dus precies de andere kant op.

De dikke stip onderin is natuurlijk de windmolen. De rechte halve lijnen geven de richtingen aan waarin bij ochtendgloren en zonsondergang de zonnestralen de aarde strelen. De kromme lijn, bestaande uit de punten tot waar de schaduw in de loop van de dag komt, lijkt verdacht veel op een hyperbool. Het vak projectieve meetkunde heb ik lang geleden gevolgd en ik heb er zelden iets van hoeven toepassen in het middelbaar onderwijs. Ik zie niet zo snel hoe dit alles in een groter wiskundig geheel in te passen, mar dat is niet erg, dan valt er nog iets te studeren.

Nu moet ik natuurlijk nog een tekening maken van 21 juni, maar daar heb ik die avond geen tijd meer voor. Zal ik maar gewoon de opdracht aan de leerlingen geven en zien wat er uit komt? Ik waag het er op.

Om het tekenen te vergemakkelijken lijkt me een gradenboog met een verdeling van 0°tot 360°wel handig. Deze heb ik op sheet gekopieerd en uitgedeeld.

Dan is het zo ver: ik vertel de klas wat de bedoeling is en motiveer het geheel aan de hand van het artikel dat ik hierboven heb geciteerd. Ik laat mijn tekening zien, zodat ze weten waar ze ongeveer naar toe moeten werken. Het valt me op dat het iedereen meteen duidelijk is. Ieder duo krijgt een kopie van een stafkaart van de omgeving van Zutphen en een eigen datum toegewezen: de eenentwintigste van iedere maand.

Na veertig minuten zijn de eersten klaar. Het ziet er prima uit.

Tekening van de schaduw door een van mijn leerlingen

Dan komen twee jongens me vertellen dat het helemaal mislukt is. Ze hebben bovenstaande tekening. Teleurgesteld zeggen ze: “Het ziet er heel anders uit dan Uw tekening, het zal wel fout zijn!”

Afgezien van de stand van de assen, die niet symmetrisch is, is het wel degelijk een goede tekening. De bijbehorende datum is 21 juni en het azimut is ’s ochtends kleiner dan 90°en ’s avonds groter dan 270°. Dat klopt. Ik keur hun tekening goed.

De volgende dag heb ik onderstaand plaatje mee uit een boek over zonnewijzers van Amerikaanse collega Lawrence E. Jones: “Sundials and Geometry”. Mijn leerlingen kan ik er voldoende tevreden mee stellen, maar bij mezelf blijven verschillende vragen kriebelen over de precieze vorm van de lijnen. Pas jaren later koop ik op vakantie in Frankrijk een boek over zonnewijzerkunde en stel ik vast dat de windmolen een gnomon is.

Ik had niet verwacht door een windenergieproject bij zonnewijzerkunde uit te komen!

Afbeelding uit Sundials and Geometry van Lawrence E. Jones