Blog Image

DE MATHEMAAT

door Hans Schipper

Mijn wiskundige zwerftocht

Numb3rs, aflevering 105 Structural Corruption

Numb3rs Posted on Fri, November 02, 2018 10:40:59

Als U tijdens een herfststorm uit het raam kijkt en U ziet aan de dwarrelende bladeren de grillige patronen van de luchtbeweging dan ervaart U een van de belangrijkste wiskundige vakgebieden: stromingsleer. Het is een vakgebied waarin de ontwikkelingen nog steeds in volle gang zijn. Inzicht in luchtstromen is van groot belang bij bijvoorbeeld het maken van een betrouwbaar weersbericht. De weersverwachting op iets langere termijn valt nog al eens tegen, omdat de natuur ingewikkelder doet dan de wiskunde aankan. Wiskundigen proberen modellen te bedenken waarmee verwachtingen op langere termijn betrouwbaarder worden. Maar het valt niet mee lange termijn verwachtingen adequaat met wiskundige formules beschrijven …

Dat wiskunde de onzichtbare vinger is die de weermodellen aanstuurt realiseren velen zich niet. Achter de bewegende beelden van Weeronline en Buitenradar zit een heel pakket aan wiskundige vergelijkingen.


Stromingsleer is ook van belang bij het ontwikkelen van nieuwe modellen vliegtuigen, bruggen, snelle treinen en hoge gebouwen. Stromingsleer is een uitdagend vakgebied dat ons de wereld van beweging doet analyseren en begrijpen met behulp van wiskunde. Stromingsleer vertaalt natuurverschijnselen in een wiskundige beschrijving: dat heet modelleren. Met het model kunnen vervolgens berekeningen en gemotiveerde voorspellingen worden gedaan.

Structural corruption
Onder een hoge brug wordt het dode lichaam van een jonge man gevonden. Wanneer Prof. Charlie Eppes en Dr. Larry Fleinhardt,

bij toeval tijdens een wandeling, op plaats delict arriveren, beseft Prof. Charlie Eppes dat hij de dode student kent. De student, Finn Montgomery, heeft enkele weken eerder Prof. Eppes gevraagd hem te helpen bij het wiskundige onderdeel van een onderzoek naar een gebouw. Prof. Eppes weigerde wegens tijdgebrek.

De politie gaat er van uit dat Finn Montgomery zelfmoord heeft gepleegd, maar wanneer Prof. Charlie Eppes het daar niet mee eens is, gaat zijn broer, detective Don Eppes ermee akkoord om het te onderzoeken.

Het autopsie rapport brengt geen uitsluitsel en Don moet Charlie berichten dat de FBI niet meer kan helpen met de zaak. Ondertussen duikelt Charlie onderzoek op naar de architectuur van Gar Haybridge en vooral het Cole Center Building. Hij besluit daarnaar te kijken voor aanwijzingen over Finns dood.


Ondertussen gaat het sociale leven van de Eppes-family natuurlijk ook gewoon door. Vader Alan Eppes zet zoon Don onder druk om hem te vergezellen op een date. Ook al probeert hij er onderuit te komen, Don en zijn politiemaatje eten uiteindelijk met Alan en zijn date Jill. Die arme Alan heeft nog zo zijn best gedaan om er een leuk etentje van te maken, maar dit gaat helaas aan ongemakkelijkheid ten onder. Een telefoontje waarin zij weg geroepen worden komt detective Don eigenlijk helemaal niet zo slecht uit.

Het is Prof. Charlie Eppes die belt tijdens het diner om te zeggen dat hij een mogelijk motief heeft gevonden voor Finns moord. Hij heeft onderzoek gedaan en ontdekt dat het gebouw van het Cole Center kwetsbaar is voor de harde wind. Dit onderzoek gaat als volgt: op een van de hogere verdiepingen hangt hij een schietlood op. Hij brengt dit schietlood in beweging en gebruikt hem dus als slinger. In de aflevering wordt niet goed duidelijk gemaakt wat de functie van het geheel is. Ik ga er vanuit dat een lineaire of cirkelvormige beweging van het lood verandert in een ellipsoïde beweging doordat het gebouw beweegt.


Het lijkt me een hoogtepunt in een schoolcarrière om deze proef samen met leerlingen uit te voeren in bijvoorbeeld een rijdende of versnellende trein.

Afijn, er is nu een motief. Detective Don Eppes en zijn team beginnen een onderzoek naar het gebouw, de eigenaar, de aannemer en onderaannemers. Men is niet erg communicatief. Het lijkt er op dat medewerkers grote winsten hebben gemaakt door een slordige constructie van de fundering.

Later brengt Finn’s vader een zelfmoordbrief van Finn, waaruit blijkt hoe hij onder druk is komen te staan als gevolg van het onderzoek dat hij deed naar de slechte constructie van het gebouw. Hij blijkt te zijn gestopt met het innemen van zijn medicijnen en is inderdaad van de brug af gesprongen.

Het wiskundig onderzoek richt zich uiteindelijk op de invloed van de luchtstromen langs het gebouw op de stabiliteit ervan. Het probleem waar Charlie in deze aflevering mee bezig is, is om vast te stellen of de wind die tegen de zijkant van het gebouw waait voldoende spanning kan veroorzaken om het gebouw te ondermijnen. Het is duidelijk dat de wind niet sterk genoeg is om het gebouw fysiek over te duwen, maar de resonantie in het gebouw kan catastrofaal zijn.

Stromingsleer, die de stroming van fluïda (vloeistoffen en gassen) onderzoekt, is een van de belangrijkste maar ook van de meest gecompliceerde gebieden van de techniek en de mathematische fysica. De bouw van vliegtuigen vereist uiteraard inzicht in de luchtstroom over de vleugels. Het vergt niet veel fantasie om te beseffen dat de bouw van hogesnelheidstreinen een zorgvuldige studie van de aerodynamica vereist, niet alleen om die hoge snelheden te bereiken, maar ook om te voorkomen dat de voertuigen aan stukken worden gescheurd. Het besef dat luchtstroming zorgvuldig in het ontwerpen van gebouwen en bruggen moet worden opgenomen kwam als een schok voor velen toen de Tacoma Narrows Bridge in de Verenigde Staten instortte als gevolg van resonantie die weer werd veroorzaakt door de manier waarop de wind langs de brug woei. Doordat de wind de slecht ontworpen brug precies goed raakte, begon de brug te draaien tot hij zichzelf uit elkaar scheurde.


Een in Nederland beroemd voorbeeld van onverwachte invloed van luchtstromen zijn de tuien van de Erasmusbrug in Rotterdam. Die gingen ook meetrillen met de wind. Er moesten speciale voorzieningen worden getroffen om dit trillen tegen te gaan.

Chaotisch gedrag dat turbulentie wordt genoemd is een probleem dat nog steeds in onderzoek is en nog lang niet opgelost. Ook al liggen twee punten relatief dicht bij elkaar, dan kunnen de krachten op elk van die twee punten toch enorm verschillen. Bijvoorbeeld, in het oog van een orkaan is er bijna geen wind, en toch net buiten dit kleine gebied is de wind sterk genoeg om het dak van een huis af te scheuren. Wanneer een vliegtuig opstijgt, is de luchtstroom direct onder het vliegtuig krachtig genoeg om een auto omver te gooien en toch worden de wielen van het vliegtuig niet vernietigd. Chaos is een eigenschap die het gevolg is van niet-lineairiteit: oplossingen voor niet-lineaire vergelijkingen zijn uiterst gevoelig voor afwijkende omstandigheden. Dit is een van de redenen waarom het weer zo moeilijk te voorspellen is. Alleen al het veranderen van de windsnelheid in een bepaald punt is voldoende om de resulterende weerpatronen in een zeer korte periode volledig af te laten wijken van de voorspelling. Dit wordt ook wel het Butterfly Effect genoemd: een vlinder die met zijn vleugels wappert in Brazilië zou het verschil kunnen maken tussen een heldere hemel en tornado’s in Texas.

De algemene vergelijking die de vloeistofstroom regelt wordt de Navier-Stokes-vergelijking genoemd. Deze vergelijking is een niet-lineaire partiële differentiaalvergelijking … zo het hoge woord is er uit. De Navier-Stokes-vergelijking is zo gecompliceerd dat, ondanks algemene aanvaarding van correctheid, niemand er een volledige oplossing voor heeft gevonden. Iemand die een dergelijke oplossing kan vinden (of bewijzen dat er geen oplossing bestaat) ontvangt een prijs van 1.000.000 dollar van het Clay Institute.

Stromingsleer is niet alleen belangrijk in de bouw. Voor de biologie is het ook van groot belang. Dieren vliegen nog ingewikkelder dan vliegtuigen, omdat de vleugels zich op gecompliceerdere wijze bewegen. Waarom vliegen grote vogels anders dan kleine insecten? Hoe vliegt de hommel? De vlucht van de hommel wordt pas de laatste jaren goed begrepen. De grootte van de vleugel en het aantal klappen per minuut waren niet genoeg om te begrijpen hoe de hommel zichzelf in de lucht kon houden. De unieke vliegstijl van de hommel ontlokte in 1934 aan een Franse entomoloog al de verzuchting dat het eigenlijk aerodynamisch onmogelijk was. Pas in 2005 begreep men het geflapper dankzij hoge snelheid digitale fotografie.

Terug naar Numb3rs. Voor de instabiliteit van het gebouw wordt een intelligente oplossing bedacht.

De aflevering lijkt me leuk als inleiding op een les stromingsleer of differentiaalvergelijkingen op de middelbare school.

Interessant materiaal is op het internet te vinden

Het vak Stromingsleer van RUG: Klik hier
Artikelen op NEMOKennislink: Klik hier
Windlastanalyse bij bomen: Klik hier
Fluittonen om gebouwen: Klik hier
Nieuwe wiskundige formule Klik hier



Numb3rs, aflevering 104 Uncertainty principle

Numb3rs Posted on Thu, October 25, 2018 12:26:36

Ook al is de politieserie Numb3rs al weer zo’n tien jaar geleden uitgezonden, hij is het nog steeds waard om bekeken te worden. Tóen had ik geen tijd om er stukjes over te schrijven, nu wel. Voor het onderwijs kunnen afleveringen heel geschikt zijn om een onderwerp te introduceren of gewoon om de wiskundeles een keer op te leuken.

De twee hoofdrollen in de serie zijn voor de broers Don en Charlie Eppes. Don is de doener, slim maar actiegericht. Charlie is een hoogbegaafde wiskundige. Ze hebben een hechte band mede doordat hun moeder vroeg is overleden. Vaak gaan ze bij hun vader op bezoek en bespreken daar zaken die hen bezig houden. De rol van de vader wordt gespeeld door de leuke acteur Judd Hirsch die in de jaren tachtig van de vorige eeuw furore maakte in de populaire televisie serie Taxi.

De vierde aflevering, die in Amerika op 28 januari 2006 werd uitgezonden, is gebaseerd op een serie echte bankovervallen in Maryland in 2005. In dit geval verstrekte een wiskundige in Arkansas de patroonanalyse die ertoe leidde dat de politie voor het bankgebouw lag te wachten toen de bende arriveerde.

In aflevering 104 Numb3rs hebben bankrovers, die bekend staan als ‘Charmers’, al 16 overvallen zonder geweld en zelfs hoffelijk uitgevoerd. Wiskundegenie Charlie heeft hen bestudeerd en een patroon ontdekt op grond waarvan hij de volgende plaats en tijd waarop zij zullen toeslaan voorspelt. De voorspelling is correct, maar Donny’s SWAT-team loopt vast in een schietpartij met slachtoffers aan beide zijden. Donny wordt licht gewond. Charlie kan het ‘falen’ en het feit dat hij zijn broer in gevaar heeft gebracht niet aan. Hij voelt zich schuldig. Hij legt uit dat de vergelijkingen die hij heeft gebruikt om de bankroof te voorspellen niet langer geldig zijn vanwege het Heisenberg Onzekerheidsprincipe: observatie verandert het fenomeen, en de slimme rovers beseffen het zelfs.

Charlie vertelt Don dat het Heisenberg Onzekerheidsprincipe zegt dat de handeling van meten in een systeem het systeem beïnvloedt. Dit is, zoals Charlie later toegeeft, eigenlijk niet wat het principe zegt. In feite is Charlie’s stelling niet bijzonder diepgaand: als we proberen om heel precies te meten waar een stuk stof in de lucht zweeft, zullen we door te meten er natuurlijk voor zorgen dat de lucht zich verplaatst en waardoor het stofdeeltje mee beweegt. Voor natuurkundigen zou dit geen nieuws zijn geweest. Wat het Heisenberg Onzekerheidsprincipe zegt, is dat je de positie en snelheid van iets niet met perfecte nauwkeurigheid kunt bepalen – zeker niet van een elektron. De fouten liggen in de orde van de constante van Planck die ongeveer 10^-34 Joules-seconden is. Klik hier. Een Joule-seconde is een eenheid die alleen is afgeleid voor macroscopische grootheden (zoals een kilogram en een meter). In macroscopische termen is de fout dus volledig verwaarloosbaar. Hoe kleiner de dingen die we meten, hoe belangrijker het principe wordt.

Terug naar het verhaal. Charlie werpt zich overstuur op het Pversus NPprobleem; een beroemd wiskundig probleem dat nog niet is opgelost en dat geen directe relatie tot het onderwerp lijkt te hebben. Kortweg kunnen P problemen binnen een aanvaardbare tijd worden opgelost en NP problemen niet. Daar staat een heel mooie tekst over op Kennislink: klik hier. Charlie vlucht eigenlijk wanhopig in het pogen dit mogelijkerwijs onoplosbaar probleem op te lossen. Dat doet hij vaker als hij stuit op, voor hem, sociaal emotioneel onoplosbare problemen. In deze aflevering wordt in verband hiermee de vroege dood van de moeder van de broers gememoreerd.

Het team van Donny ontdekt ondertussen dat de identiteit van de neergeschoten bankrover gestolen is. Don dringt een locatie binnen en ontdekt in een afgetimmerde ruimte een lijk: het is het lijk dat bij de gestolen identiteit hoort. De criminelen, die waarschijnlijk een militaire achtergrond hebben, hebben de echte identiteit gestolen, na te hebben gemarteld en gemoord.

Als ondertussen Charlie zijn emoties verwerkt heeft, begint hij middels een computerspelletje te beseffen waar het de overvallers echt om te doen is. Dit is een aardige wending in het verhaal. Het is weer een verwijzing naar de Pversus NPkwestie, maar voor de fijnproevers onder ons waarschijnlijk veel te oppervlakkig. Ik vind het evenwel wel leuk, want het onderwerp uit de wiskunde wordt zichtbaar gemaakt voor een groot publiek. Wat is er aan de hand? Binnen de klasse NP bevindt zich een elitegroep van problemen die NP-volledig wordt genoemd. Deze NP-volledige problemen hebben een extra eigenschap: als één van deze problemen binnen een bepaalde tijd kan worden opgelost (en dus tot de klasse P behoort), dan kunnen alle NP-problemen (zowel de NP-volledige als de overige NP-problemen) met diezelfde methode in diezelfde tijd worden opgelost.

Door zijn computerspelletje te analyseren begint Charlie ook het probleem van de bankroven te doorgronden. Hij begrijpt dat het de bankovervallers niet om de buit op zich gaat, maar dat hun bankroven een omtrekkende beweging vormen die hen in staat stelt computerdata te stelen, waarmee een veel grotere slag kan worden geslagen.

Bij de spannende ontknoping blijkt dat de bankovervallers het Heisenberg principe doorhebben en weten te anticiperen op de acties van de politie.

Je moet deze serie niet met het enthousiasme van een zure haring bekijken, maar gevoel proberen te krijgen voor de romantiek van de wiskunde. Iedere aflevering biedt aanknopingspunten voor een gesprek over een mooi stukje wiskunde.

Ik denk dat het kijken met de klas naar deze aflevering een mooi opstapje kan zijn naar een college over het P versus NP probleem en het Heisenberg principe.



Numb3rs, aflevering 103: Vector

Numb3rs Posted on Fri, October 19, 2018 07:43:02

Zes jaar lang produceerde de Amerikaanse zender CBS de misdaadserie Numb3rs. In iedere aflevering werden één of meerder onderwerpen uit de wiskunde gekoppeld aan het oplossen van een misdaad. De makers van de serie hebben dit mooi gedaan, vind ik. Zo mooi, dat ik tien jaar na uitzending de afleveringen wil bespreken en wiskundig toelichten. De serie is nog te koop op dvd.

Verschillende mensen in Los Angeles, die zo op het eerste gezicht niets met elkaar gemeen hebben, worden plotseling extreem ziek en velen sterven nog die zelfde dag. Don vreest dat bioterroristen een dodelijk virus hebben verspreid. Terwijl hij probeert te ontdekken of er iemand achter de uitbraak zit, probeert Charlie het punt van herkomst te vinden.

Los Angeles

Don neemt het onderzoek over wanneer een mysterieuze ziekte dertig mensen in Los Angeles treft en er zes doden vallen, waaronder een tienerjongen. Luitenant mevrouw Havercamp (!) van het Center for Disease Control overlegt met Don. Don zegt dat hij graag een heel goede wiskundige naar het probleem wil laten kijken, maar Lt. Havercamp belt liever haar eigen wiskundige die, tot Don’s verbazing, Charlie blijkt te zijn.

Terug op het hoofdkantoor herinnert Havercamp de FBI eraan dat deze zaak volledig vertrouwelijk moet worden behandeld. De detectives zijn gedwongen voorzichtig te zijn bij het ondervragen van de families van drie van de slachtoffers om ervoor te zorgen dat ze geen paniek veroorzaken.

H1N1, één van de virus varianten die Spaanse griep kan veroorzaken, bron: Wikipedia

Het team interviewt ook Dr. Clarence Weaver en twee junior wetenschappers, die voor een van de vier laboratoria werken aan de Spaanse griep, die als doodsoorzaak werd geïdentificeerd. Hun opmerkingen vormen een potentieel nieuw motief voor de misdaden – farmaceutische bedrijven zouden bezig zijn met nieuwe vaccins voor de griep te maken.

Met weinig data wordt een eerste graaf geproduceerd, screenshot

Charlie kan het gevoel niet van zich afschudden dat er iets mis is met de aanname van de CDC dat het virus is ontstaan bij Union Station. Nadat Larry hem heeft aangespoord om de wiskunde opnieuw te controleren, gaat Charlie terug naar het schoolbord om op zijn briljante wijze een serie wiskundige formules tevoorschijn te toveren. Hij stelt vast dat het virus daadwerkelijk is ontstaan bij het busstation in de binnenstad omdat het virus alleen naar het noorden en zuiden ging (de busroute) maar niet naar het oosten en westen (de treinroute) vanaf Union Station. Niet alleen hierdoor, maar doordat de ene groep zieker lijkt te worden dan de andere, gelooft Charlie dat er twee verschillende virussen zijn vrijgegeven, wat de CDC later bevestigt.

Naarmate er meer data kunnen worden verwerkt, wordt de graaf steeds duidelijker

Terry en Don leren door hun ondervraging dat het laboratorium van Weaver stammen van beide versies van de Spaanse griep op voorraad had en dat een farmaceutisch bedrijf het lab van Weaver onlangs een contract aanbood om aan een vaccin te werken. Bij het bekijken van de beveiligingsbeelden van de busterminal ontdekt het team ook dat Weaver op het juiste moment ter plaatse was om het virus te verspreiden. Weaver wordt gearresteerd als hij een kerk binnen probeert te gaan om een kaars voor zijn slachtoffers aan te steken.

Ook naar deze derde aflevering, die voor het eerst werd uitgezonden op CBS op vrijdag 4 februari 2005, heb ik geïnteresseerd zitten kijken.

Op grond van de titel had ik verwacht getrakteerd te worden op een maaltje vectormeetkunde. Dat blijkt niet zo te zijn. Het is vooral grafentheorie, maar daar komt het begrip vector ook in voor.

De huisjespuzzel: ook grafentheorie

Een graaf bestaat uit knopen en kanten. De punten heten knopen en de verbindingslijntjes heten kanten. Heeft een kant een richting, dan spreekt met van een vector. In het plaatje hierboven staat een beroemde graaf getekend, die U misschien wel als puzzeltje kent. De bijbehorende opdracht is: Teken deze figuur zonder het potlood van het papier te halen.

Grafentheorie is de studie van de eigenschappen van deze grafen. Dat is belangrijk werk, want grafentheorie heeft toepassingen variërend van computers tot logistiek tot sociale netwerken tot epidemieën. De film bevat een behoorlijk ingewikkeld grafen-probleem. Stel dat U honderd punten tekent op een stuk papier. U kiest een speciaal punt V en in een soort van spel verbindt U punten met elkaar, dus U tekent kanten van de ene knoop naar de andere. Vervolgens gaat U terug naar V en doet U dit opnieuw. U herhaalt het proces een keer of tien. U vraagt dan aan een vriend om uit te zoeken vanaf welke knoop U bent begonnen. Dit is in wezen het probleem waar in aflevering 103 de FBI en CDC mee bezig zijn: het vinden van de eerste besmette persoon of personen. Alleen zijn er honderdduizenden mensen met elkaar verbonden in het besmette gebied, dus het probleem is veel complexer.

Stadsplattegrond van Königsbergen. Er zijn zeven bruggen op te zien. Rechts de abstractie van het probleem. Bron: Klik hier

De grafentheorie is bedacht door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783). Euler loste in 1736 het Königsbergen zeven- bruggenprobleem op. In de achttiende eeuw had de stad Königsbergen zeven bruggen die de verschillende delen van de stad met elkaar verbonden. Er was een discussie onder de burgers over de vraag of iemand precies één keer door de stad kon wandelen waarbij elke brug precies een keer mag worden overgestoken. Sommigen beweerden dat ze het gedaan hadden, maar niemand kon uitleggen hoe.

De discussie duurde voort tot Leonhard Euler, een de meest bekende wiskundigen uit de geschiedenis, bewees dat het in feite onmogelijk was. Door het publiceren van het bewijs schreef Euler het eerste wetenschappelijk artikel over Grafentheorie, een gebied van de wiskunde dat tegenwoordig veel belangrijke toepassingen heeft.

Eerst heeft Euler de stadsplattegrond gereduceerd tot een diagram waarbij elke lijn een brug voorstelt en elke punt een regio van de stad. Zo’n diagram wordt nu een graaf genoemd. In plaats van door de stad te lopen, onderzocht Euler of je met een potlood de graaf kon overtekenen, zonder dat je twee keer een lijn passeerde. Voordat hij ging analyseren abstraheerde hij het probleem dus.

Wat Euler liet zien is dat je een even aantal kanten vanuit elke knoop moet hebben om zo’n wandeling mogelijk te maken (behalve de gekozen punten voor de start en finish). De reden is eenvoudig. Als je een knoop bij een kant ingaat, moet je ook weer bij een andere kant weggaan, dus het aantal kanten moet bij elk hoekpunt even zijn. Als zo’n pad op een grafiek getekend kan worden dan heet het een Euler graaf. Als start en finish verschillend zijn, dan zou een graaf twee knopen met een oneven aantal kanten hebben. Zo’n grafiek wordt een Semi-Euler Graaf genoemd.

In het geval van Königsbergen heeft elke knoop een oneven aantal kanten die eruit komen, dus je kunt de stad niet doorlopen terwijl je iedere brug maar één keer oversteekt. (het is dus noch een Euler, noch een Semi-Euler graaf). De mensen die beweerden het wel te hebben gedaan, moeten zich hebben vergist! Nou ja … of ze hebben gejokt.

Een toegankelijk boek over grafentheorie is van Peter Higgins: ‘Nets, puzzles and postmen; an exploration of mathematical connections’. Oxford University Press, pp. 248, 22 euro. Voor een boekbespreking Klik hier



Numb3rs, aflevering 102: Sabotage

Numb3rs Posted on Thu, October 11, 2018 12:23:08

We all use math every day;
to predict weather, to tell time, to handle money.
Math is more than formulas or equations;
it’s logic, it’s rationality,
it’s using your mind to solve the biggest mysteries we know.

We gebruiken allemaal dagelijks wiskunde;
om het weer te voorspellen, de tijd te zeggen, met geld om te gaan.
Wiskunde is meer dan formules of vergelijkingen;
het is logica, het is rationaliteit, het is
je geest gebruiken om de grootste mysteries die we kennen op te lossen.

Ook al is de politieserie Numb3rs al weer zo’n tien jaar geleden uitgezonden, hij is het nog steeds waard om bekeken te worden. Tóen had ik geen tijd om er stukjes over te schrijven, nu wel. Voor het onderwijs kunnen afleveringen heel geschikt zijn om een onderwerp te introduceren of gewoon om de wiskundeles een keer op te leuken.

Cryptografie, of de kunst en wetenschap van het versleutelen van gevoelige informatie, was ooit exclusief voorbehouden aan de domeinen van de overheid, de academische wereld en het leger. Met de recente technologische ontwikkelingen is cryptografie echter alle facetten van het dagelijks leven binnen gaan dringen.

De rampplek – screenshot

In aflevering 102 van Numb3rs, Sabotage, wordt het op een bijzondere manier gebruikt. Detective Don Eppes onderzoekt van een reeks spoorwegongelukken de treinwrakken. Het is duidelijk dat er een onderlinge samenhang is. Op de plaats van elk ongeval wordt een cijfercode achtergelaten. Cryptografen van politie en inlichtingendiensten hebben de tanden op het kraken van deze code stuk gebeten: het blijft een mysterie welke informatie in het papier, dat vol staat met cijfers, verborgen zit.

De cijfercode – screenshot

Gelukkig weet Charlie Eppes de codes te breken, dat wil zeggen eigenlijk zijn het geen codes, want het papier staat gewoon vol met statistieken van de treinrampen die door de sabotage zijn veroorzaakt. Maar ook de data van de volgende treinrampen staan er in. Het is een soort van binnenste buiten vercijfering: je suggereert dat er belangrijke gegevens in gecodeerde vorm staan, maar de gegevens staan er gewoon zonder codering. Je hoeft alleen maar te lezen.

Maar meestal vindt versleuteling plaats door goed uitgedacht systemen. Tegenwoordig is alles, van smartphone tot bankzaken, sterk afhankelijk van cryptografie om uw informatie veilig te houden en uw leefomstandigheden veilig te stellen.

Helaas gaan veel mensen er als gevolg van de schijnbare complexiteit van cryptografie van uit dat het beter is dit onderwerp over te laten aan de AIVD, computerwizards, zwarte hoed tovenaars, hightech bedrijven en de NSA. Toen ik nog les gaf heb ik deze passieve houding menen te moeten bestrijden door het geven van enkele lessen cryptografie op zijn tijd.

“Meneer, wilt u Paul even aanpakken?”
“Waarom, Sander?”
“Hij zegt dat ik een Bufpyauly ben.”
“Is dat zo, Paul?”
“Jawel, meneer. Maar dat kwam doordat Sander mij een Kioom noemde.”
“Mag ik ook nog weten wat dit allemaal betekent?”
“Bufpyauly is Halvegare in C6.”
“Kioom” is Gekki in C4.”

Deze korte conversatie op hoog niveau komt uit een cryptografieproject van al weer enige jaren geleden. De eerste versleuteling waar de leerlingen mee kennis maken heet Caesar en die is, zo als het hoort bij een eerste kennismaking, niet moeilijk. Het principe is als volgt:

Deze tabel wordt C4 genoemd. Gewoon steeds vier plaatsen opschuiven. Om het wiskundig te beschrijven worden alle letters omgezet naar getallen. A wordt 1, B wordt 2, C wordt 3, enzovoorts tot Z en die wordt, u raadt het al, 26. Werkt men met C4 dan telt men bij alle letters vier op en het resultaat wordt weer terug gezet naar letters. HALLO => 8 – 1 – 12 – 12 – 15 => C4 => 12 – 5 – 16 – 16 – 19 => LEPPS

HALLO heet plaintext en LEPPS heet ciphertext.
Werkt men met C6, dan wordt natuurlijk overal zes bij opgeteld.
De Caesar code is niet moeilijk te kraken, want alle 26 mogelijkheden kunnen worden uitgeprobeerd.

Sander en Paul hebben alles snel door en kunnen daarom spelen met de wiskunde: “Mogen we in plaats van opdrachten doen, ook zelf een methode proberen te ontdekken?” Van mij mag het: het is projectweek en eigen initiatieven worden gewaardeerd.

Ze onderzoeken of kwadrateren ook werkt in plaats van erbij optellen. Ze noemen hun systeem niet naar Julius Caesar maar naar Julius Kwadratius. Hun methode beschrijven ze als volgt:

A (= 1) => kwadraat = 1 => A

B (= 2) => kwadraat = 4 => D

C (= 3) => kwadraat = 9 => I

Maar ja, wat doe je met de letter F die de zesde letter in het alfabet is? Kwadrateren levert 36 en er zijn maar 26 letters. Ik suggereer daar 26 vanaf te halen. Dit levert 10 en dat is dus een J. Ze zijn ongemerkt en ongewild de wereld van het modulo rekenen binnen gestapt. De G is de zevende letter. Kwadrateren levert 49. 26 er van af geeft 23 en daar hoort de letter W bij. De H is de achtste letter. Kwadrateren levert 64. 26 er van af levert nog steeds geen letter, dus dan maar 2 x 26 er van af en zo komen we bij 12. Dat is de letter L.

Heel veel rekenwerk later – rekenwerk dat niet saai is en heel nuttig, want ze zijn gemotiveerd om hun eigen bedenksel helemaal uit te voeren – komen ze op het volgende lijstje (het woordje modulo heb ík er zelf bij genoemd, hoor ?):

Balen dus, want de helft van de letters komt niet in de ciphertext voor. De helft die er wel in voorkomt heeft steeds twee originelen. Het systeem lijkt niet geschikt als geheimtaal, maar er staan wel een aantal wiskundig interessante zaken in de tabel. De kolom onder het woordje “modulo” is symmetrisch. Zo wordt 24 overgebracht naar 4, net als 2. en 23 wordt overgezet naar 9, net als 3. Hoe komt dat? Wel je kunt in deze werkwijze 25 opvatten als -1 en dat is gekwadrateerd 1. 24 kun je nemen als -2 en dat is gekwadrateerd 4. 23 kun je zien als -3 en dat is gekwadrateerd 9. “Denk daar maar eens over na.” zeg ik en daar grijnzen ze maar eens een beetje op terug.

De rest van de klas is verder gegaan met de opdrachten. Sander en Paul zullen hen niet meer inhalen, maar geleerd hebben ze wel …

Het is goed om in onze moderne tijd enige kennis van versleutelen te hebben. Met de enorme hoeveelheden persoonlijke gegevens die tegenwoordig op het internet circuleren, is het belangrijker dan ooit tevoren om te leren hoe je jezelf met succes kunt beschermen tegen individuen met kwade bedoelingen. Daarnaast is het ook gewoon leuk je er in te verdiepen.

Sinds er landen en landjes zijn, is omgaan met informatie een van de meest gekoesterde troeven. Het vermogen (of onvermogen) van staten om geheimen te bewaren en informatie te verbergen heeft politieke partijen geëlimineerd, het tij van de oorlogen verschoven en hele regeringen omvergeworpen.

Aflevering 102 van Numb3rs “Sabotage” is het kijken zeker waard. De speurneuzen storten zich in de databanken en vissen daar de gegevens van een figuur uit die ooit veroordeeld is voor het veroorzaken van een treinongeluk. Navraag leert dat hij zich onschuldig voelt, maar … hij blijkt verdwenen te zijn. Onder grote druk begint de klopjacht want de cijfercode suggereert een treinongeluk in de nabije toekomst …

De serie is te vinden op internet en ook te koop op DVD.



Een spannende afsluiting van de wiskundeles

Numb3rs Posted on Fri, October 05, 2018 12:36:57

We all use math every day;
to predict weather, to tell time, to handle money.
Math is more than formulas or equations;
it’s logic, it’s rationality,
it’s using your mind to solve the biggest mysteries we know.

Allemáál gebruiken we dagelijks wiskunde;
om het weer te voorspellen, om de tijd te vertellen,
om met geld om te gaan.
Wiskunde is meer dan formules of vergelijkingen;
het is logica, het is rationaliteit, het is je geest gebruiken
om de grootste mysteries die we kennen op te lossen.

In mijn laatste jaar als leraar mocht ik lesgeven aan een leuke 3HAVO klas. In de eerste 35 minuten werkte de klas goed door. Direct na de tien-minuten-uitleg, die de leerlingen over het algemeen met interesse volgden, werd er bereidwillig met de sommen aan het werk gegaan. Tien minuten voor het einde van de les was het concentratievermogen voor wiskunde wel zo’n beetje op. Dat gold zeker op maandag als ik een blokuur wiskunde met hen had …

Ik vond het jammer om die laatste tien minuten van de les te laten verrommelen met het opporren van leerlingen om ook dat extra sommetje te maken of om in afgedwongen stilte toch nog een som voor het bord te bespreken. Ik koos liever voor een wiskundig spel of een relevant filmpje. De rest van de sommen moesten de leerlingen dan maar thuis maken.

Een voor dit probleem elegante oplossing waar ik heel erg mee verguld was, was het inzetten van de Amerikaanse hit-serie van tien jaar geleden: NUMB3RS. In iedere aflevering van de serie, die veel weg heeft van CSI, wordt het gebruik van wiskunde in forensisch onderzoek plausibel gemaakt.

De twee broers Don en Charlie bespreken een waarschijnlijkheidsgrafiek

De lancering van een grote televisieserie met een wiskundige als held, was in 2005 een zeer ongewone gebeurtenis. De wiskundefaculteiten in de Verenigde Staten waren er erg blij mee. Succesvolle films of televisiereeksen hadden in het verleden geleid tot een aanzienlijke toename van het aantal universiteitsstudenten dat voor majors opteerde die aansloten bij die series. Een beroemd voorbeeld hiervan was het grote aantal studenten in Artificiële Intelligentie die voor het eerst werden geïnspireerd om het veld te betreden door de film “2001” uit 1968. En ik heb gehoord dat de studie forensisch onderzoek een enorme boost kreeg als gevolg van de tv serie CSI.

Vrijwel alles dat het imago van de wiskunde bij de doorsnee burger kan verbeteren verdient de steun van het onderwijs, de wiskundedocent in het bijzonder en de wiskundegemeenschap in het algemeen, ja toch niet dan?

De wijdverspreide onwetendheid bij het grote publiek van wat wiskunde inhoudt, werd tergend duidelijk toen de kritieken op de nieuwe serie na de eerste aflevering op 23 januari losbarstten: het was allemaal maar onwaarschijnlijk. Veel tv-critici in Amerika konden niet geloven dat wiskunde kan worden gebruikt om strafzaken te helpen oplossen op een soortgelijke manier als in Numb3rs wordt weergegeven. Toch was die eerste aflevering (Pilot), net als alle andere hierna komende afleveringen in het eerste seizoen, gebaseerd op een echte zaak.

Judd Hirsch speelt de vader van de twee broers. Hij werd ooit beroemd met de populaire jaren tachtig serie “Taxi”

In veel stukjes in de kranten stonden termen als “NUMB3RS klopt niet”, “de wiskunde wordt er met de haren bij gesleept”, “de serie mist originaliteit” (nou ja zeg) en wat dacht u hiervan: “er wordt gebruikt gemaakt van een vermoeide en over-gebruikte formule”. Persoonlijk ben ik in mijn lange leven, gewijd aan de wiskunde, nog nooit een vermoeide formule tegen gekomen. Formules zijn behoorlijk onvermoeibare types. Je houdt het niet voor mogelijk hoe formules iedere keer weer fris en fruitig gereed staan als je met hen aan het werk wilt. Daar kan zelfs mijn hondje, een schier onafmatbare Heidewachtel, niet tegen op en dat wil wat zeggen.

De makers stapten in het begin van de 21eeeuw jaar naar de grote Amerikaanse TV studio’s met in gedachten een plan voor het maken van een primetime televisieserie met daarin optredend wiskundigen en wetenschappers. In hun achterhoofd hadden ze Richard Feynman, de beroemde swingende fysicus van hun plaatselijke universiteit: Caltech. Maar om een ​​grote studio te winnen voor een nieuw idee, vooral eentje met wiskunde, was, zo ontdekten ze, geen eenvoudige zaak. Maar ze hebben doorgezet met hun idee, de beproefde formule van een serie politiedetectives. Uiteindelijk bleken twee producenten van succesfilms en super TV-series, de broertjes Ridley en Tony Scott (Alien en Top Gun) bereid hun naam eraan te verbinden. Het TV-netwerk CBS was om.

De baas is een bazig type

En zo werd uiteindelijk NUMB3RS bedacht, een variant op de enorm populaire CSI-serie, met de forensische wetenschappers van CSI vervangen door het wiskunde-genie Charlie Eppes, die betrokken raakt bij het kraken van criminele zaken via zijn oudere broer Don, een FBI-agent.

De pilot-aflevering is niet gering. Er werd gebruik gemaakt van een seriële verkrachtingszaak die eind jaren negentig plaats vond in Louisiana. In werkelijkheid was het als volgt gegaan: een Canadese politie-detective met een Ph.D. in de wiskunde las over de zaak en schreef aan de lokale politie om zijn diensten aan te bieden. Hij had, zei hij, een formule ontwikkeld om de waarschijnlijke verblijfslocatie van de dader te bepalen op basis van het patroon van de locaties van de misdaden.

Tegen die tijd was de wanhopige lokale politie bereid om alles te proberen, maar dan ook echt alles en daarom stonden ze de Canadese detective toe zich met de zaak te bemoeien. Wat er daarna gebeurde, zal je bekend voorkomen als je de eerste aflevering van NUMB3RS hebt gezien. De politie ging op zoek naar de waarschijnlijke verblijfslocatie bepaald door een wiskundeformule. Vervolgens verzamelde men DNA-monsters van sigarettenpeuken en andere cooky’s van alle mannen in het gebied en liet die monsters testen tegen die van de slachtoffers van verkrachting.

Artistieke voorstelling van de plot van de eerste aflevering

In dit geval kwam geen van de verzamelde monsters overeen, totdat iemand zich afvroeg of de dader recentelijk was verhuisd. (Ja, zelfs dat deel van NUMB3RS is overgenomen uit de echte praktijk! Waarom verzinnen als het echte leven alle dramatische elementen bevat die je nodig hebt.) Dankzij de wiskunde, werd de echte crimineel – een politie-detective zoals later bleek – gepakt.

De wiskundige formule die je acteur David Krumholtz (die de wiskundige speelt) thuis op het schoolbord ziet schrijven, is feitelijk de vergelijking die in het echte geval werd gebruikt. De andere vergelijkingen die je ziet in de eerste aflevering, zijn geschreven door professionele wiskundigen. Voor het vormen van een denktank pleegde CBS stevig acquisitie op Amerikaanse universiteiten. De tv-critici die dachten dat het complot te ongeloofwaardig was, waren hiervan kennelijk niet op de hoogte.

Vijfentwintig miljoen mensen keken naar de eerste aflevering, verreweg het grootste aantal kijkers van alle nieuwe tv-series die in 2006 werden uitgezonden. Ter vergelijking: Desperate Housewives werd door 21,6 miljoen mensen bekeken.

Het grote aantal kijkers kwam ook door het feit dat de eerste aflevering werd uitgezonden direct na de Super Bowl Play-off en dat laatste schijnt een dingetje te zijn
in de US of A. ? Maar zelfs zonder het voetbal maakten de 17 miljoen kijkers, die de vrijdag daarop op de volgende aflevering afstemden, het programma het meest bekeken van de avond.

Men is bij het maken van de serie niet over een dag ijs gegaan. De producenten hebben zich tot het uiterste ingespannen om de wiskunde goed te krijgen. Ze hebben ook een echte FBI-agent op de set laten rondlopen om er zeker van te zijn dat het politiegedoe klopt. Evenmin is Krumholz’s uitbeelding van het wiskundegenie licht opgevat. Ter voorbereiding op zijn rol hing hij een tijdje rond bij Caltech om te zien hoe echte wiskundigen zich gedragen. Als zijn uitbeelding van deze ervaringen klopt zouden wiskundigen het toch eigenlijk heel goed moeten doen op de huwelijksmarkt: studie met baangarantie, leuk salaris, goede looks …. dames wat wil je nog meer!

Charlie Eppes krijgt een brainwave

Het bedrijven van wiskunde wordt zeker gedramatiseerd. Wiskundige ontwikkelingen worden spannend en beelden weergegeven. Het is ten slotte een primetime tv-misdaadserie, geen wiskundecollege of een documentaire over wiskundigen. Met die laatste twee trek je geen kijkerspubliek van 25 miljoen. Maar in wezen worden de wiskundigen en de wiskunde recht gedaan.

Onderzoek heeft uitgewezen dat het publiek niet door de getoonde wiskundeformules of door de wiskundige discussies wordt afgeschrikt. Toen CBS een vroege versie van de pilot testte, was het steekproefpubliek niet alleen geïntrigeerd door de wiskunde, ze zeiden dat ze er meer van wilden hebben in de show! Vergelijkbare zeer positieve reacties op de dramatische weergave van wiskundigen en wiskunde volgden op films als Good Will Hunting, Pi en A Beautiful Mind.

Ik denk dat het samen met de klas kijken naar NUMB3rs een positief effect zal hebben op de, vaak toch wel zorgelijke, affectie van leerlingen voor de wiskunde.

Voor de bovenbouw heeft TI “classroomactivities” ontworpen. Klik hier